フィルタの設計と実装

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序章

音響フィルター（マフラー）は、音の抑制や減衰を必要とする様々な用途に使用されています。あまり馴染みのない言葉かもしれないが、消音器は日常生活をより快適なものにしてくれます。冷蔵庫やエアコンなど、一般的な家電製品の多くに消音器が使用され、作動音を最小限に抑えています。消音器の用途は、高圧排気管、ガスタービン、回転ポンプなど、放射音の多い機械部品や部位に向けられることがほとんどです。

消音器の用途は多岐にわたりますが、大きく分けて2種類のみです。それは、吸収型マフラーと反応型マフラーです。吸音型マフラーは、吸音材を使用してガス流の放射エネルギーを減衰させるものです。リアクティブマフラーは、圧力損失や容積流量など、設定された仕様を満たしながら音の減衰を最大化するために、一連の複雑な通路を使用しています。現在、より複雑なマフラーの多くは、両方の方法を取り入れて、音の減衰を最適化し、現実的な仕様を実現しています。

音響フィルタがどのように放射音を減衰させるかを十分に理解するために、まず、基本的な背景について簡単に説明する必要があります。音響フィルタを学ぶ上で必要な波動理論などについては、以下を参照してください。

波動の基礎理論

基本的に難解なものではないが、波動解析には多くの代替手法があり、初心者はまず圧倒されると思われます。そこで、ここでは1次元の波動のみを解析し、数学をできるだけ単純化することにしました。この解析は、実際に遭遇する配管や囲いの大部分に対して、大きな誤差なく有効です。

配管内の平面波圧力分布

最も重要な方程式は、1次元の波動方程式を用います。 したがって、平面波が伝播している場合、配管内の圧力分布は次式で与えられると考えるのが妥当でしょう。

$\mathbf {p} =\mathbf {Pi} e^{j[\omega t-kx]}+\mathbf {Pr} e^{j[\omega t+kx]}$

ここで、PiとPrはそれぞれ入射波と反射波の振幅である。また、複素数の項がある可能性を示すために太字表記が用いられていることに注意されたい。第1項は+x方向に進む波、第2項は-x方向に進む波を表している。

音響フィルタやマフラーは通常、放射される音響パワーを可能な限り減衰させるので、反射波と入射波の振幅の比を最大化する方法を見つけることができれば、ある周波数での放射ノイズを効果的に減衰させられると考えるのは論理的なことです。この比は反射係数と呼ばれ、次の式で与えられます。

$\mathbf {R} =\left({\frac {\mathbf {Pr} }{\mathbf {Pi} }}\right)$

ここで重要なのは、波の反射はパイプのインピーダンスが変化したときにのみ起こるという点である。パイプの端のインピーダンスをパイプの特性インピーダンスに合わせると、波の反射が起きないようにすることが可能である。詳しくは[1]または[2]を参照されたい。

音響パワーを記述する関係が欲しいので、反射係数は現在の形ではあまり有用ではありませんが、電力強度係数が単に反射係数の2乗の大きさであることを認識することによって、より有用な形を導き出すことができます[1]。

$R_{\pi }=\left|\mathbf {R} \right|^{2}$

予想されるように、電力反射係数は1以下でなければならない。したがって、透過係数を次のように定義するのが有効である。

$T_{\pi }=\left(1-R_{\pi }\right)$

このように表され、伝達される電力量である。この関係はエネルギー保存から直接来るものである。マフラーの性能を語るとき、一般的には動力伝達係数が指定される。

フィルターの基本設計

単純なフィルタの場合、システムの解析を容易にするために長波長近似を行うことができる。この仮定が有効な場合（例えば低周波）、システムの構成要素は集中音響素子として振る舞います。このような状況下では、さまざまな特性を関連付ける方程式が容易に導かれます。

以下、長波長を想定して導出する。ほとんどの条件での実用的な応用は後述します。

ローパスフィルタ

ローパスフィルタ用Tpi