中学数学3年 円
この章では、2年生で学んだ三角形と四角形の性質をもとにして、円周角と中心角の性質を扱います。
円周角と中心角
編集中心がOである円を円Oと呼ぶ。円Oにおいて、円周上の2点A , Bをとったとき、AからBまでの円周の部分を 弧AB (こAB)といい、 と書く。 を弧ABに対する 中心角(ちゅうしんかく) という。また、弧ABを中心角 に対する弧(こ)という。
円Oの周上の点で、弧AB上にはない点Pをとったとき、 を弧ABに対する 円周角(えんしゅうかく) という。また、弧ABを円周角 に対する弧という。
右の図のように、弧ABに対する円周角は のようにいくつもできる。しかし、弧ABに対する中心角 は1つに決まる
円周角の定理
編集中心角と円周角には次の性質がある。
円周角の定理 |
1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。 |
この定理を証明するためには、円Oの弧ABに対する円周角の1つを として、 を示せばよい。
中心Oが 直線PAまたは直線PB上にある場合
編集Oが直線PB上にある場合について示せば十分である。 は の外角であるから、三角形の1つの外角はそれととなり合わない2つの内角の和に等しいので
の辺OP , OAは等しいから
(1)、(2)より
したがって
よって、中心Oが 直線PB上にある場合、 が成り立つ。
中心Oが ∠APB の内部にある場合
編集直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、 は の外角であるから
の辺OP , OAは等しいから
したがって
は の外角であるから
の辺OP , OBは等しいから
したがって
(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えると
したがって
すなわち
よって、中心Oが の内部にある場合、 が成り立つ。
中心Oが ∠APB の外部にある場合
編集直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、 は の外角であるから
の辺OP , OAは等しいから
したがって
は の外角であるから
の辺OP , OBは等しいから
したがって
(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれひくと
したがって
すなわち
よって、中心Oが の外部にある場合、 が成り立つ。
以上で考えられるすべてのPの位置について証明されたので、「1つの弧に対する円周角の大きさはすべて等しい」ことが成り立つことがわかった。
半円の弧に対する円周角
編集半円の弧に対する中心角は であるから、円周角は である。半円の弧に対する弦は直径であるから、次の定理が得られる。
直径と円周角(ターレスの定理) |
線分ABを直径とする円の周上にA、Bと異なる点Pをとれば である。 |
円周角と弧
編集右の図の円Oで、円周角 が等しい場合、円周角の定理により
となる。
であるから、(1)、(2)より
となる。
1つの円において等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、
が成り立つ。
また、右の図の円Oで、 が等しい場合、1つの円において等しい長さの弧に対する中心角は等しいので
となる。
よって、円周角の定理により
が成り立つ。
円周角と弧 |
1つの円において
|
円周角の定理の逆
編集円Oの周上の点をA,B,Cとし、 とする。また、直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとる。このとき、Pが円Oの周上、内部、外部にある場合について、 と との大きさを比べる。
点Pが円Oの周上にある場合
編集円周角の定理により
点Pが円Oの内部にある場合
編集APの延長と円周の交点をQとする。 は における の外角であるから
となる。 円周角の定理により、 であるから、
よって
点Pが円Oの外部にある場合
編集APと円周の交点をQとする。 は における の外角であるから
となる。 円周角の定理により、 であるから、
式を変形すると
よって
円周角の定理の逆
編集上で調べたことから、点Pを直線ABについて点Cと同じ側にとったとき
ならば、点Pは円Oの周上にあることがわかった。したがって、円周角の定理の逆として次のようにまとめられる。
円周角の定理の逆 |
4点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABについて同じ側にあるとき, ならば,この4点は1つの円周上にある。 |
円周角の定理の応用
編集円の接線
編集まずは1年生で学んだ円の接線について復習する。
直線が円とただ1点で出あうとき、この直線は円に接する(せっする)といい、この直線を円の 接線(せっせん) といい、出あう1点を 接点(せってん) という。
円の接線 |
円の接線は、接点を通る半径に垂直である。 |
円外の点からの接線
編集円O外の点Aから円Oにひけたとし、その接点をP,P'とする。 AP,AP'は円Oの接線であるから、
であるから、点P,P'はAOを直径上とする円周上にあることがわかる。
このことをふまえて、円O外の点Aから円Oに接線をひくには、次のようにすればよい。
- 点AとOを結ぶ。
- 線分AOの垂直二等分線をひき、AOとの交点をO'とする。
- 点O'を中心として半径OO'の円を書き、円Oとの交点をP,P'とする。
- 直線AP,AP'をひく。
接線の長さ
編集と において
AP,AP'は接線だから
共通な辺だから
円Oの半径だから
(1)、(2)、(3)より斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから
したがって、
線分APまたはAP'の長さを、Aから円Oにひいた接線の長さという。
上で調べたことから、次のようにまとめられる。
接線の長さ |
円外の1点からその円にひいた2つの接線の長さは等しい。 |