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この章では、2年生で学んだ三角形と四角形の性質をもとにして、円周角と中心角の性質を扱います。

円周角と中心角編集

 
円周角と中心角

中心がOである円を円Oと呼ぶ。円Oにおいて、円周上の2点A , Bをとったとき、AからBまでの円周の部分を 弧AB (こAB)といい、 と書く。  を弧ABに対する 中心角(ちゅうしんかく) という。また、弧ABを中心角   に対する弧(こ)という。

円Oの周上の点で、弧AB上にはない点Pをとったとき、  を弧ABに対する 円周角(えんしゅうかく) という。また、弧ABを円周角   に対する弧という。

右の図のように、弧ABに対する円周角は   のようにいくつもできる。しかし、弧ABに対する中心角   は1つに決まる

円周角の定理編集

中心角と円周角には次の性質がある。

円周角の定理

1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。

この定理を証明するためには、円Oの弧ABに対する円周角の1つを   として、  を示せばよい。

中心Oが 直線PAまたは直線PB上にある場合編集

 
中心Oが   の辺上にある場合

Oが直線PB上にある場合について示せば十分である。   の外角であるから、三角形の1つの外角はそれととなり合わない2つの内角の和に等しいので

 

  の辺OP , OAは等しいから

 

(1)、(2)より

 

したがって

 

よって、中心Oが 直線PB上にある場合、  が成り立つ。

中心Oが ∠APB の内部にある場合編集

 
中心Oが   の内部にある場合

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、   の外角であるから

 

  の辺OP , OAは等しいから

 

したがって

 

   の外角であるから

 

  の辺OP , OBは等しいから

 

したがって

 

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えると

 

したがって

 

すなわち

 

よって、中心Oが   の内部にある場合、  が成り立つ。

中心Oが ∠APB の外部にある場合編集

 
中心Oが   の外部にある場合

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、   の外角であるから

 

  の辺OP , OAは等しいから

 

したがって

 

   の外角であるから

 

  の辺OP , OBは等しいから

 

したがって

 

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれひくと

 

したがって

 

すなわち

 

よって、中心Oが   の外部にある場合、  が成り立つ。

以上で考えられるすべてのPの位置について証明されたので、「1つの弧に対する円周角の大きさはすべて等しい」ことが成り立つことがわかった。

半円の弧に対する円周角編集

半円の弧に対する中心角は   であるから、円周角は   である。半円の弧に対する弦は直径であるから、次の定理が得られる。

直径と円周角(ターレスの定理)

線分ABを直径とする円の周上にA、Bと異なる点Pをとれば

 

である。

円周角と弧編集

 
円周角と弧

右の図の円Oで、円周角   が等しい場合、円周角の定理により

 
 

となる。

  であるから、(1)、(2)より

 

となる。

1つの円において等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、

 

が成り立つ。


また、右の図の円Oで、 が等しい場合、1つの円において等しい長さの弧に対する中心角は等しいので

 

となる。

よって、円周角の定理により

 

が成り立つ。


円周角と弧

1つの円において

  1.  等しい円周角に対する弧は等しい。
  2.  等しい弧に対する円周角は等しい。

円周角の定理の逆編集

円Oの周上の点をA,B,Cとし、  とする。また、直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとる。このとき、Pが円Oの周上、内部、外部にある場合について、   との大きさを比べる。

点Pが円Oの周上にある場合編集

 
点Pが円Oの周上にある場合

円周角の定理により

 

点Pが円Oの内部にある場合編集

 
点Pが円Oの内部にある場合

APの延長と円周の交点をQとする。   における   の外角であるから

 

となる。 円周角の定理により、  であるから、

 

よって

 

点Pが円Oの外部にある場合編集

 
点Pが円Oの外部にある場合

APと円周の交点をQとする。   における   の外角であるから

 

となる。 円周角の定理により、  であるから、

 

式を変形すると

 

よって

 

円周角の定理の逆編集

上で調べたことから、点Pを直線ABについて点Cと同じ側にとったとき

 

ならば、点Pは円Oの周上にあることがわかった。したがって、円周角の定理の逆として次のようにまとめられる。

円周角の定理の逆
 
円周角の定理の逆

4点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABについて同じ側にあるとき,

 

ならば,この4点は1つの円周上にある。

円周角の定理の応用編集

円の接線編集

まずは1年生で学んだ円の接線について復習する。

直線が円とただ1点で出あうとき、この直線は円に接する(せっする)といい、この直線を円の 接線(せっせん) といい、出あう1点を 接点(せってん) という。

円の接線
 
円の接線

円の接線は、接点を通る半径に垂直である。

円外の点からの接線編集

 
円外の点からの接線

円O外の点Aから円Oにひけたとし、その接点をP,P'とする。 AP,AP'は円Oの接線であるから、

 
 

であるから、点P,P'はAOを直径上とする円周上にあることがわかる。


このことをふまえて、円O外の点Aから円Oに接線をひくには、次のようにすればよい。

 
円外の点からの接線のひき方
  1.  点AとOを結ぶ。
  2.  線分AOの垂直二等分線をひき、AOとの交点をO'とする。
  3.  点O'を中心として半径OO'の円を書き、円Oとの交点をP,P'とする。
  4.  直線AP,AP'をひく。

接線の長さ編集

 
接線の長さの証明

   において

AP,AP'は接線だから

 

共通な辺だから

 

円Oの半径だから

 

(1)、(2)、(3)より斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから

 

したがって、 


線分APまたはAP'の長さを、Aから円Oにひいた接線の長さという。

上で調べたことから、次のようにまとめられる。

接線の長さ

円外の1点からその円にひいた2つの接線の長さは等しい。