中学数学3年式の計算

式の乗法・除法

2 年までに式の加減や、単項式の乗除をやってきたわけであるが、3 年では式の乗除を学習する。はじめに、（単項式）×（多項式）や、（多項式）×（単項式）の形の計算をやってみよう。

多項式と単項式の乗除

このような式は、分配法則を利用して計算することができる。

(a + b)c = ac + bc

c(a + b) = ca + cb

また、多項式 ÷ 単項式の計算も、多項式 ÷ 数の場合と同じように計算することができる。

多項式の乗法

次に、多項式同士の積を考えてみよう。

(a + b)(c + d)

はどうなるだろうか。仮に、(c + d) = A と置き換えてみると、

(a + b)A = aA + bA

となるので、A をここで元に戻してみる。すると、

{\begin{matrix}aA+bA&=&a(c+d)+b(c+d)\\&=&ac+ad+bc+bd\end{matrix}}

すなわち、(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd となる。ここで見られるように、「積の形で書かれた式を整理し、式の値を保ったまま、和の形にすること」を、「元の式を多項式に展開（てんかい）する」という。展開した式が同類項を含むときは、2 年で学習したとおり、まとめて簡単な式に整理することができる。

展開公式

(x + a)(x + b) の展開

$(x+a)(x+b)$ を展開してみよう。

$(x+a)(x+b)$	$=x^{2}+bx+ax+ab$
	$=x^{2}+(a+b)x+ab$

となり、

x の係数は a と b の和、

定数項は a と bの積

になる。

(x+a)(x+b) の展開公式

(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab

(a + b)², (a - b)² の展開

$(a+b)^{2}$	$=(a+b)(a+b)$
	$=a^{2}+ab+ab+b^{2}$
	$=a^{2}+2ab+b^{2}$

同様に、

$(a-b)^{2}$	$=(a-b)(a-b)$
	$=a^{2}-ab-ab+b^{2}$
	$=a^{2}-2ab+b^{2}$

このような形の展開公式を、とくに平方公式（へいほうこうしき）という場合がある。それは、展開する前の元の式が、一次式の 2 乗の形、すなわち平方の式を展開する公式になっているからである。

平方公式

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

(a + b)(a - b) の展開

$(a+b)(a-b)$	$=a^{2}-ab+ab-b^{2}$
	$=a^{2}-b^{2}$

このような、同じ数についての和と差との積を求めることができる公式を、和と差の積という。

和と差の積

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

因数分解

素因数分解

(注意 2021年以降に中学3年生になった方は、この内容は中1で学ぶこととなりました。) 最初に、この問題を考えてみよう。

例題: 48 を 1 より大きい 2 つの整数の積であらわしなさい。

これは例えば 48 = 8 × 6 とできるので、これが1つの答えである。

このように、

整数がいくつかの整数の積の形に表すことができるとき、その 1 つ 1 つの数のことを、もとの数の 因数（いんすう）という。

この問題は 8 と 6 が 48 の因数と言うことができる。また、48 はほかにも 4 × 12 とか、3 × 16 とあらわすことができるため、4 と 12 も 48の因数といえるし、3 と 16 も 48の因数といえる。

2 や 3 や 5 や 7は、それより小さい自然数の積であらわすことはできない。このような数を 素数 （そすう）という。
ただし、1は素数にふくめない。

48 ＝8×6　であったが、8＝2×2×2であり6＝2×3であるため、48は次のようにも分解することもできる。

48 = （2 × 2 × 2） × （2 × 3）＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 3

このように、因数をさらに小さい因数の積に分解していくと、最後には、素数の積だけで表すことができる。

（この計算例の素数である因数の 2 や 3 のように、）

素数である因数のことを素因数（そいんすう）という。

そして、

自然数を素数の積として表すことを素因数分解（そいんすうぶんかい）という。

例題にある 48 を素因数分解したときの結果は、

48=2^{4}\times 3

のように指数で表すと見やすい。

こんどは、さきほどの数 48 を 4 × 12 をもとに素因数分解してみましょう。

4×12 ＝（2×2）×（2×2×3）＝

48=2^{4}\times 3

となり、同じく $48=2^{4}\times 3$ の結果になります。

このように素因数分解はどのような順序で行っても、結果は同じになる。

例題

80を素因数分解してみよう。右図のように、小さい素数から始めて、次々に割り算していくと、手間はかかるが、確実に素因数分解を行うことができる。この筆算を「簾算(すだれざん)」とよぶ。


2	)	80
2	)	40
2	)	20
2	)	10
		5

よって、

80 ＝ 2⁴ × 5

80の計算では、因数 8 が目立つが、しかし右の計算例のように素数（例の場合は素数 2 ）で素因数分解していくことに気をつけよう。

※ 発展: コラム

コラム・1はなぜ素数でないか

1が素数でないことについては上でも述べたが、別の説明の仕方をすることもできる。

当たり前のことだと思うかもしれないが、素因数分解は次のような性質を持つ。これを算術の基本定理といい、本当は証明すべき立派な定理なのだが、ここでは証明しない。（中学生向けの書き方はしていないが、w:算術の基本定理に証明があるので気になる読者は参照のこと）

すべての自然数は素因数分解することができる。
ある自然数を素因数分解したとき、その分解の仕方は素数の並べ方を除いて一通りしかない。

分解の仕方は一通りというのは、誰が素因数分解しようとも必ず同じ分解になる、ということである。（当たり前すぎて逆にわかりにくいと感じるかもしれない。）

しかし、もし1が素数だとすると、この性質は成り立たなくなる。なぜならば、6=2×3だが、たとえばこれを6=1×1×2×3ともあらわせて、分解の仕方が一通りではなくなるからである。ゆえに、1を素数とは呼ばないのである。

素数の見つけ方

100以下の素数は次のようにしてすべて見つけることができます。まずは、2から99までの自然数をすべて書き出してみましょう。（1は素数ではないので最初から除外。）

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

まずこの中で、2以外の2の倍数は素数ではないので消してしまおう。

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

3は2では割り切れないので素数です。しかし、3以外の3の倍数は素数ではないから消してしまおう。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 61 65 67 71 73 77 79 83 85 89 91 95 97

5は2でも3でも割り切れなかったので残っています。だから、5は素数です。しかし、5以外の5の倍数は素数ではないから消してしまおう。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91 97

同じ考え方で、7以外の7の倍数を消してしまうとこうなります。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

残った数の中には、2と3と5と7で割り切れるものはありません。そして、11, 13, 17･･･で割り切れる数も、残っていません。なぜなら、この時点でもし11で割り切れる数が残っているとしたら、その数は11×11=121より大きいものでなくてはなりません。しかし、今は100以下の自然数で考えているので、11で割り切れる数は残っていません。だから、ここに残っている数は全部素数であり、また、100以下の素数はこれで全部です。

このようにして素数を見つける方法を、発見したギリシャの学者の名前を取って「エラトステネスの篩(ふるい)」といいます。