中学数学3年 2乗に比例する関数

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中学校では4種類の関数を学習します。1年生のときに学習した「比例」「反比例」、2年生で学習した「1次関数」、そして、これから学ぶ「2乗に比例する関数」です。2乗に比例する関数はさまざまなところに見られます。例えば、衛星放送などを見るために必要なパラボラアンテナの形も、この2乗に比例する関数の形です。

では、2乗に比例する関数について学んでいきましょう。

2乗に比例する関数の式

yがxの関数で、yとxの関係が、

$y=ax^{2}$ (aは定数)

という式で表すことができるとき、 yはxの2乗に比例するといいます。

グラフ

$y=ax^{2}$ のグラフは, a>0 の場合、右図のようになります。

a>0の場合、xの正負にかかわらず、yは常に正の値をとっています。

また、y軸に対し左右対称であることも分かります。
そして座標平面において、1次関数が直線、反比例関数が双曲線を描くのに対し、
2乗に比例する関数は、放物線(ほうぶつせん)と呼ばれる線を描きます。

なぜなら、a<0 の場合の $y=ax^{2}$ のグラフの形が、物体が飛んでいく軌道と同じだからです。

性質

放物線は係数の値により形が変わります。２乗に比例する関数 ${\textstyle y=ax^{2}}$ ( $a$ は定数)で考えてみましょう。

で $a=1$ のとき、

$x$ の値が1、2、3…と増加すると、 $y$ の値は1、4、9…と増加します。

さて、関数 $y=ax^{2}$ では、定数 $a$ の符号が入れ替わると、グラフは $x$ 軸に対して反転します。

右のグラフを見ればわかるように、2乗に比例する関数には、最大の値または最小の値があります。

たとえば、a>0 の場合、 $y=ax^{2}$ は、yは0より小さくならない。つまり、a＞0の関数 $y=ax^{2}$ では 0がyの最小の値である。

同様に、 a<0 の場合、 $y=ax^{2}$ は、yは0より大きくならない。つまり、a＜0の関数 $y=ax^{2}$ では 0がyの最小の値である。

ただし、この性質（2乗に比例する関数には、最大の値または最小の値があること）を証明するのは難しいので、中学生のうちは、証明せずに、性質として使っていい。（※ 高校2年で微分（びぶん）という単元を習うと、証明できるようになる。）

ボールを投げると放物線

野球ボールでもバレーボールの玉でも何でもいいですが、ボールをななめ上に投げると、 a＜0 の場合の $y=ax^{2}$ の放物線の跡（あと）をえがいて、飛んでいきます。

そもそも、このような理由から、 $y=ax^{2}$ のグラフのことを日本語では「放物線」と言われています。

※ 編集中

(ⅰ) 同式で $a=2$ のとき、

$x$ の値が1、2、3…と増加すると、 $y$ の値は2、8、18…と増加します。

つまり定数 $a$ が増加するとき、２乗に比例する関数のグラフは横に幅広くなります。

(ⅱ)また、 $a=-1$ のとき、

$x$ の値が1、2、3…と増加すると、 $y$ の値は-1、-4、-9…と増加します。

定数がプラスのグラフを、関数は上に凸である、凸型である、山型であるなどといい、

逆に定数がマイナスのグラフを関数は上に凸である、凹型である、谷型であるなどといいます。

2乗に比例する関数の性質

y=ax^{2}

の変化の割合(xが1ずつ動くとき)

関数 $y=x^{2}$ について、 xとyの動き方を対応表で見てみましょう。

x	0	1	2	3	4	5	6	7
y	0	1	4	9	16	25	36	49
xが1増加するときのyの増加量		1	3	5	7	9	11	13

対応表を見ると、xが増加するとき、yの増加量が増えていきます。
1次関数のときは、変化の割合を、(yの増加量)/(xの増加量)で求めたのでした。
2乗に比例する関数でもこの考えを使うことができます。
前の対応表において、「xが1増加するときのyの増加量」は、xの増加量を1とすれば、変化の割合になるのです。
つまり、関数 $y=ax^{2}$ における変化の割合は一定ではないということになります。

先ほどの関数 $y=x^{2}$ において、xが-2から5まで増加するときの変化の割合を調べてみましょう。
まず、xが-2,5のときのそれぞれのyを出します。

x = -2 のとき、

y=(-2)^{2}

= 4

x = 5 のとき、

y=5^{2}

= 25

そしてx,yそれぞれの増加量で変化の割合を出します。

{\begin{aligned}{\frac {25-4}{5-(-2)}}&={\frac {21}{7}}\\&=3\end{aligned}}

よって、変化の割合は3ということになります。

応用 - 関数 $y=ax^{2}$ の変化の割合の公式

先ほどの変化の割合の求め方を応用して、関数 $y=ax^{2}$ のxが、
mからnまで増加する(つまり任意の変化の割合を求める)ときの変化の割合を求める公式を作ってみましょう。
ただこれは中学生で習う範囲ではないので無理に覚える必要はありません。

まず、関数 $y=ax^{2}$ の対応表を作っておきましょう。

x	q	…	p
y	$aq^{2}$	…	$ap^{2}$

先ほどと同じように変化の割合を求めます。

{\frac {ap^{2}-aq^{2}}{q-p}}={\frac {a(p^{2}-q^{2})}{q-p}}

ここで、因数分解の公式を覚えているでしょうか？
分子に「 $q^{2}-p^{2}$ 」があるので、これを因数分解します。

{\begin{aligned}{\frac {a(q^{2}-p^{2})}{q-p}}&={\frac {a(q+p)(q-p)}{q-p}}\\&=a(q+p)\\&=a(p+q)\\\end{aligned}}

これでいつでも変化の割合が出せるようになります。最後の2行は、どちらを用いてもかまいません。これを利用して、このような問題を解いてみましょう。

問題

関数

y=ax^{2}

で、xが-5から-3まで増加するときの変化の割合が24だった。aの値を求めよ。

先ほどの公式a(m+n)を利用して方程式を作って解くことができます。

a{(-5)+(-3)} = 24

-8a = 24

a = -3

2乗に比例する関数の変域

y={\frac {1}{2}}x^{2}

（

-4\leqq x\leqq 2

）のグラフ

2乗に比例する関数の変域を考えてみましょう。例として、 $y={\frac {1}{2}}x^{2}$ を考えます。xの変域を $-4\leqq x\leqq 2$ としたときのyの変域を求めてみましょう。

まず、 $x=-4$ と $x=2$ を、 $y={\frac {1}{2}}x^{2}$ に代入します。すると、yの値は8と2になります。しかし、グラフを見るとわかりますが、yの変域は $2\leqq x\leqq 8$ ではありません。yの最小値は、 $x=0$ のときの値である0になっていることがわかります。最大値は先ほど代入して求めた値のうちの大きいほうである8ですから、yの変域は、 $0\leqq y\leqq 8$ となります。