中学数学1年 方程式

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方程式とは

方程式とは、わからない数を文字でおいて、その数が満たす条件を式にしたものです。

まだわかっていない数をあらわす文字として、よく $x$（エックス）が使われます。（※かけ算の記号「×」ではない。）

例題

みかん40個を300gの箱に入れると、箱を含めた合計の重さが4.1kgだった。

みかん1個の重さは何gですか。

解説

まず、方程式を学習する上で重要なことを覚えておこう。

わからない数の表し方

わからない数はいろいろな文字に置き換えて表す。

現時点でみかんの重さはわからない。

そこでみかんの重さを、x（エックス）とおく。

合計が4.1kgなので、次の式が成り立つ。

40x + 300 = 4100　(重さの単位が統一されていないのでgになおす)

xはこれから求めようとする数なので、まだわかっていない数を表す。

上の式のように、まだわかっていない数(未知数)を表す文字を含む等式を方程式（ほうていしき、英：equation イクエイション）という。

またこの式は、1次の項と定数の項で成り立っているので、1次式ということになる。

数ある方程式の中でも1次式でできたものを、一次方程式（いちじほうていしき）という。

方程式の基本的な式は、

ax + b = 0　　(aは0でない数)

もしくは、

ax = b

である。

また、小学校で習った「□を使った式」も方程式と同じ様なことである。

等式の性質

方程式の答えを導く前に、等式の性質について習得しておこう。

まず、以下の式が成り立つとする。ここでAとBは「どんな数でもよいからとりあえず何らかの数」を表す。

$A=B$

このとき、"="で結ばれた式を等式（とうしき）といい、その両側にある部分を、それぞれ辺という。 特に、"="の左側を左辺(さへん)といい、右側を右辺（うへん）という。

理解しておくべき等式の性質は以下の4つである。

等式の性質

$A=B$　のとき、次の性質が成り立つ。

1. 等式の両方の辺(両辺)に同じ数を加えても、等式は成り立つ。　　$A+C=B+C$

2. 等式の両辺から同じ数を引いても、等式は成り立つ。　　　　　　$A-C=B-C$

3. 等式の両辺に同じ数を掛けても、等式は成り立つ。　　　　　　　$AC=BC$

4. 等式の両辺を同じ数で割っても、等式は成り立つ（ただし、割る数が0の場合を除く）。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　${\frac {A}{C}}={\frac {B}{C}}$ 　　（ただし $C\neq 0$）

※　(1)$\neq$ とは、「等しくない」という意味の記号です。

   (2)次の性質も成り立つ。 5.等式の両辺を入れ替(か)えても、等式は成り立つ。 $B=A$

実際に AとBに何らかの値を代入して、定数を四則演算してみよう。 （代入とは計算をする時に、式中の文字に、ある特定の数字を入れ、計算をすること）

Aに6を代入する。 A=Bなので、Bも6になる。

そして両辺に2をたすと、

A+C = B+C

6 + 2 = 6 + 2 = 8

A-C = B-C

6 - 2 = 6 - 2 = 4

AC = BC

6 × 2 = 6 × 2 = 12

${\frac {A}{C}}$ = ${\frac {B}{C}}$

${\frac {6}{2}}$ = ${\frac {6}{2}}$ = 3

等式の性質は、A,B,Cが7であれ243であれ-44でも、「4」でC=0のときを除いて、どんな数でも通用する。

方程式の解き方

等式の性質を利用する

例題の方程式に戻ってみよう。

求めるのはxなので、x=Aの形にする必要がある。

先ほどの式は、

40x + 300 = 4100

等式の性質の1つに、等式の両辺に同じ数を加えても、等式は成り立つ、というものがある。

そこで、左辺にある300を取るため、両辺から300を引く。すると、

40x + 300 - 300 = 4100 - 300

40x = 3800

となる。

そしてさらに等式の性質を利用して、両辺をxの係数40で割る。

${\frac {40x}{40}}={\frac {3800}{40}}$

x = 95

これにより、みかん1個の重さは95gということが分かった。 この95を、この方程式の解（かい）といい、解を求めることを、方程式を解く（とく）という。

一般に、なんらかの方程式のある場合に、xに数値を代入したときに、その方程式がなりたつ値のことを、解（かい） という。また、方程式の解（かい）をもとめることを（つまり、その方程式をみたす変数xなどの値をもとめることを）、その方程式を 解く（とく） という。

さて、上記のような解き方が正しいことを確認するために、検算もしてみよう。 検算は、元の式の未知数(ここではx)に解を代入して、計算結果が左辺と右辺で一致すればよい。

(左辺)40 × 95 + 300 = 4100

(右辺)4100

(左辺) = (右辺)なので、95は正しい解である。

移項

先ほどの方程式では、

40x + 300 = 4100 … ①

40x + 300 - 300 = 4100 - 300

40x = 4100 - 300 … ②

と式を変形した。

①と②の式を比べると、左辺にあった+300が、-300となって右辺に移ったと見ることができる。

この、等式の片方の辺にある項を、符号を変えてもう片方の辺に移すことを移項(いこう)という。

最も簡単な例として、方程式x - 5 = 31 を解いてみよう。

移項を利用すると、

x - 5 = 31

x = 31+5 = 36 (36-5=31)

となる。

方程式5x - 7 = 3x+9 を解いてみよう。

方程式の利用

方程式にかかわらず、方程式を利用する時に重要なこととして、方程式を解くだけでなく、方程式を組み立てたり、正しい答えを導き出す作業も重要である。 特に文章題では、解を書くだけでは不十分なことがあるので、与えられている問題に対してどのような回答が望ましいかをじっくり考えなければならない。

例題

Aさんは、600m離れた駅に向かって、徒歩で自宅を出た。

家を出た12分後に、Bさんが自転車でAさんの家を出た。

Aさんの歩く速さを分速50m、Bさんの自転車の速さを分速200mとすると、BさんはAさんが駅に着くまでにAさんに合流できるか。

要素が複雑にからみ合っているが、表や図に表すと分かりやすくなる。 今回は、BさんがAさんの家を出た時刻からx分後にAさんに追いつくとしてまとめてみる。

数量の関係

	Aさん	Bさん
速さ(m/分)	50	200
追いつくまでの時間(分)	12+x	x
追いつくまでの道のり(m)	50(12+x)	200x

BさんがAさんに追いつくということは、

(Aさんが歩いた道のり) = (Bさんが走った道のり)

ということになる。 この方程式を解くと、

50(12+x) = 200x

600 + 50x = 200x

150x = 600

x = 4

つまり、4分後に追いつくということになる。 Bさんは200m/分で移動しているので、

200 × 4 = 800

より、Bさんが出発してから4分経った時点で800m移動していることになる。 しかし、Aさんの家から駅までは600mなので、既にAさんは駅に到着しており、それまでにはBさんはAさんに追いつけない。

答.追いつけない

このように、方程式の解が問題の答えでないこともある。

一次方程式

一次式で方程式があらわされる式を一次方程式（いちじ ほうていしき）という。

一次方程式は

ax + b = 0　　(a≠0)

の形に表せる。ここで、a=0の場合は一次方程式ではなくなるので、a≠0 という条件をつけた。

一次方程式の解の公式

一次方程式を整理すると次のような形になる。

ax + b = c

定数項であるbを移項すると、次のようになる。

ax = c-b

この状態から、両辺をaで割ると、xについての式に直すことができる。

x = ${\begin{matrix}{\frac {c-b}{a}}\end{matrix}}$

これが一次方程式の解の公式である。

比と比例式

比の値

比 $a\ :\ b$ に対し、aをbで割った値 ${\frac {a}{b}}$ を、 $a\ :\ b$ の比の値という。

例えば、 $9\ :\ 15$ の比の値は、${\frac {9}{15}}={\frac {3}{5}}$ である。

比例式

比$a\ :\ b$と比$c\ :\ d$の比の値が等しいとき、$a\ :\ b=c\ :\ d$と書く。このような、2つの比の比の値が等しいことを示す等式を比例式という。

$a\ :\ b=c\ :\ d$であるとき、次のことが成り立つ。

$a\ :\ b=c\ :\ d$ ならば $ad=bc$

例題

縦と横の長さの比が$3\ :\ 4$の長方形がある。縦の長さが18cmのとき、横の長さは何cmですか。

横の長さをx cmとすると、

$3\ :\ 4=18\ :\ x$

が成り立つ。上の性質を使うと、

$3\times x=18\times 4$

$3x=72$

$x=24$

となり、答えは24cmとなる。