中学数学3年 式の計算

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式の乗法・除法

2 年までに式の加減や、単項式の乗除をやってきたわけであるが、3 年では式の乗除を学習する。はじめに、（単項式）×（多項式）や、（多項式）×（単項式）の形の計算をやってみよう。

多項式と単項式の乗除

このような式は、分配法則を利用して計算することができる。

(a + b)c = ac + bc

c(a + b) = ca + cb

また、多項式 ÷ 単項式の計算も、多項式 ÷ 数の場合と同じように計算することができる。

多項式の乗法

次に、多項式同士の積を考えてみよう。

(a + b)(c + d)

はどうなるだろうか。仮に、(c + d) = A と置き換えてみると、

(a + b)A = aA + bA

となるので、A をここで元に戻してみる。すると、

${\begin{matrix}aA+bA&=&a(c+d)+b(c+d)\\&=&ac+ad+bc+bd\end{matrix}}$

すなわち、(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd となる。ここで見られるように、「積の形で書かれた式を整理し、式の値を保ったまま、和の形にすること」を、「元の式を多項式に展開（てんかい）する」という。 展開した式が同類項を含むときは、2 年で学習したとおり、まとめて簡単な式に整理することができる。

展開公式

(x + a)(x + b) の展開

$(x+a)(x+b)$ を展開してみよう。

$(x+a)(x+b)$	$=x^{2}+bx+ax+ab$
	$=x^{2}+(a+b)x+ab$

となり、

x の係数は a と b の和、

定数項は a と bの積

になる。

(x+a)(x+b) の展開公式

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$

(a + b)², (a - b)² の展開

$(a+b)^{2}$	$=(a+b)(a+b)$
	$=a^{2}+ab+ab+b^{2}$
	$=a^{2}+2ab+b^{2}$

同様に、

$(a-b)^{2}$	$=(a-b)(a-b)$
	$=a^{2}-ab-ab+b^{2}$
	$=a^{2}-2ab+b^{2}$

このような形の展開公式を、とくに平方公式（へいほう こうしき）という場合がある。それは、展開する前の元の式が、一次式の 2 乗の形、すなわち平方の式を展開する公式になっているからである。

平方公式

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

(a + b)(a - b) の展開

$(a+b)(a-b)$	$=a^{2}-ab+ab-b^{2}$
	$=a^{2}-b^{2}$

このような、同じ数についての和と差との積を求めることができる公式を、和と差の積という。

和と差の積

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

因数分解

素因数分解

(注意 2021年以降に中学3年生になった方は、この内容は中1で学ぶこととなりました。) 最初に、この問題を考えてみよう。

例題

48 を 1 より大きい 2 つの整数の積であらわしなさい。

これは例えば 48 = 8 × 6 とできるので、これが1つの答えである。

このように、

整数がいくつかの整数の積の形に表すことができるとき、その 1 つ 1 つの数のことを、もとの数の 因数（いんすう）という。

この問題は 8 と 6 が 48 の因数と言うことができる。また、48 はほかにも 4 × 12 とか、3 × 16 とあらわすことができるため、4 と 12 も 48の因数 といえるし、3 と 16 も 48の因数 といえる。

2 や 3 や 5 や 7は、それより小さい自然数の積であらわすことはできない。このような数を 素数 （そすう）という。
ただし、1は素数にふくめない。

48 ＝8×6　であったが、8＝2×2×2であり6＝2×3であるため、48は次のようにも分解することもできる。

48 = （2 × 2 × 2） × （2 × 3） ＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 3

このように、因数をさらに小さい因数の積に分解していくと、最後には、素数の積だけで表すことができる。

（この計算例の素数である因数の 2 や 3 のように、）

素数である因数のことを素因数（そいんすう）という。

そして、

自然数を素数の積として表すことを素因数分解（そいんすうぶんかい）という。

例題にある 48 を素因数分解したときの結果は、

$48=2^{4}\times 3$

のように指数で表すと見やすい。

こんどは、さきほどの数 48 を 4 × 12 をもとに素因数分解してみましょう。

4×12 ＝ （2×2）×（2×2×3）＝ $48=2^{4}\times 3$

となり、同じく $48=2^{4}\times 3$ の結果になります。

このように素因数分解はどのような順序で行っても、結果は同じになる。

例題

80を素因数分解してみよう。右図のように、小さい素数から始めて、次々に割り算していくと、手間はかかるが、確実に素因数分解を行うことができる。この筆算を「簾算(すだれざん)」とよぶ。

2	)	80
2	)	40
2	)	20
2	)	10
		5

よって、

80 ＝ 2⁴ × 5

80の計算では、因数 8 が目立つが、しかし右の計算例のように素数（例の場合は素数 2 ）で素因数分解していくことに気をつけよう。

※ 発展: コラム

コラム・1はなぜ素数でないか

1が素数でないことについては上でも述べたが、別の説明の仕方をすることもできる。

当たり前のことだと思うかもしれないが、素因数分解は次のような性質を持つ。これを算術の基本定理といい、本当は証明すべき立派な定理なのだが、ここでは証明しない。（中学生向けの書き方はしていないが、w:算術の基本定理に証明があるので気になる読者は参照のこと）

• すべての自然数は素因数分解することができる。
• ある自然数を素因数分解したとき、その分解の仕方は素数の並べ方を除いて一通りしかない。

分解の仕方は一通りというのは、誰が素因数分解しようとも必ず同じ分解になる、ということである。（当たり前すぎて逆にわかりにくいと感じるかもしれない。）

しかし、もし1が素数だとすると、この性質は成り立たなくなる。なぜならば、6=2×3だが、たとえばこれを6=1×1×2×3ともあらわせて、分解の仕方が一通りではなくなるからである。ゆえに、1を素数とは呼ばないのである。

素数の見つけ方

100以下の素数は次のようにしてすべて見つけることができます。まずは、2から99までの自然数をすべて書き出してみましょう。（1は素数ではないので最初から除外。） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 まずこの中で、2以外の2の倍数は素数ではないので消してしまおう。 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 3は2では割り切れないので素数です。しかし、3以外の3の倍数は素数ではないから消してしまおう。 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 61 65 67 71 73 77 79 83 85 89 91 95 97 5は2でも3でも割り切れなかったので残っています。だから、5は素数です。しかし、5以外の5の倍数は素数ではないから消してしまおう。 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91 97 同じ考え方で、7以外の7の倍数を消してしまうとこうなります。 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 残った数の中には、2と3と5と7で割り切れるものはありません。そして、11, 13, 17･･･で割り切れる数も、残っていません。なぜなら、この時点でもし11で割り切れる数が残っているとしたら、その数は11×11=121より大きいものでなくてはなりません。しかし、今は100以下の自然数で考えているので、11で割り切れる数は残っていません。だから、ここに残っている数は全部素数であり、また、100以下の素数はこれで全部です。 このようにして素数を見つける方法を、発見したギリシャの学者の名前を取って「エラトステネスの篩(ふるい)」といいます。 なぜ11で割り切れる数は残っていないか 注意：ここでは「平方根」・「二次方程式」を既知であることを前提としています。 nが素数でないものとするとnはpとq（どちらも自然数であり1＜p≦q＜n）という約数を持ち、 $n=p\times q$ と表されます。p≦qより $n=p\times q\geqq p\times p=p^{2}$ なので、 ${\sqrt {n}}\geqq p$ となります。 つまり、nが素数でないならば、その約数のうちの小さいほうは${\sqrt {n}}$より小さい、ということです。よって、2以上${\sqrt {n}}$以下の約数がないことがわかれば、nは素数とわかります。 先ほどの例でいえば、${\sqrt {100}}=10$なので、11について調べる必要はもうないのです。 素数は無限個存在することが知られており、エラトステネスの篩(ふるい)を使えば理論上はどんなに大きな素数も見つけることができるが、数が大きくなればなるほど計算の手間は大きくなるので困難になります。 いま知られている最も大きな素数は、2018年12月に発見された 282589933-1で十進数で表すと 24,862,048桁(けた)の数です。もちろんこの数はこのようにして見つけられたわけではないです（ 24862048が素数なのではなく、 十進数で24,862,048桁の素数が見つかっているのです）。

因数分解

たとえば、(x + 2)(x - 2) を展開すると x² - 4 となる。このことから、x² - 4 は、このように積の形に表すことができる。

$x^{2}-4=(x+2)(x-2)$

このような文字の式の場合も、整数の場合と同じように、x + 2 や x - 2 を x² - 4 の因数（いんすう）という。

一般に、「多項式をいくつかの因数の積の形に表すこと」を因数分解（いんすうぶんかい、英: factorization）という。上の例から、因数分解は展開の逆の操作と言える。

それで、因数分解の仕方を学習しよう。

共通因数を取り出す

次の数の因数分解を考えてみよう。

An + Am

この多項式には、どの項にも A という共通な因数がある。その共通な因数のことを共通因数（きょうつういんすう）という。その共通因数 A を取り出すことで、次のように因数分解をすることができる。

$An+Am=A(n+m)$

この式の右辺は分配法則を用いて展開すると元の式に戻るため、正しく因数分解されていることがわかる。

このように共通因数を取り出して因数分解することを「共通因数のくくりだし」という。因数分解をするときには、まず手始めに共通因数のくくりだしができないか考えるとよい。

乗法公式を利用する

それでは、共通因数がなかったらどうすればよいのだろうか。

ここで、因数分解とは何だったかを思い出してみよう。因数分解とは展開の逆の操作だったはずである。だから、乗法公式を逆に利用して、因数分解ができないか考えればよい。展開公式も乗法公式の一部である。

乗法公式

$a^{2}-b^{2}$$=(a+b)(a-b)$ $a^{2}+2ab+b^{2}$$=(a+b)^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}$$=(a-b)^{2}$ $x^{2}+(a+b)x+ab$$=(x+a)(x+b)$

それぞれの乗法公式の行頭に示してある番号は、あくまで説明用に書いているだけなので、覚える必要はありません。これらを使って、できるだけ細かく因数分解をする。

例

2x²-4xy+2y²

これは、まず共通因数の2でくくりだし、その後乗法公式の3.を利用して因数分解すればよい。

正解は

$2x^{2}-4xy+2y^{2}$	$=2({\underline {x^{2}-2xy+y^{2}}})$
	$=2(x-y)^{2}$

演習問題

次の式を、因数分解しなさい。

1. x ² - 4x + 3
2. x ² - 12x + 35
3. x ² + 3x - 10
4. x ² + 6x + 5
5. x ² + 11x + 18
6. x ² - 3x - 108
7. x ² - x - 12
8. x ² - 2x - 24
9. x ² - x - 72

（答えはこのページのいちばん下にあります）

利用

展開や因数分解は非常に重要で、これから高校、大学と使用することになる。また、高校に入れば新たに習う乗法公式もある。しかし基本となるのは今までに学習した公式や、その考え方である。ここでは、ここまでの公式や考え方を用いて、ある形の計算を簡単に行う方法を学ぶ。

数式の計算

例題

$51\times 49$を計算しなさい。

いままではこのような計算は、筆算でやっていたことだろう。しかし、展開や因数分解を使用することで非常に簡単に速く正確に解く事ができる。

この式をこのように変形してみるとどうでしょう。

$(50+1)\times (50-1)$

これは、どこかで見た事があるはずです。そう、

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

の形です。つまり、この答えは

$51\times 49$	$=(50+1)(50-1)$
	$=50^{2}-1^{2}$
	$=2500-1$
	$=2499$

嘘だと思うなら電卓でも計算してみよう。正しいはずである。

演習問題の解答

1. (x - 1)(x - 3)
2. (x - 5)(x - 7)
3. (x - 2)(x + 5)
4. (x + 1)(x + 5)
5. (x + 2)(x + 9)
6. (x + 9)(x - 12)
7. (x + 3)(x - 4)
8. (x + 4)(x - 6)
9. (x + 8)(x - 9)