ここでは、位相幾何学を学ぶ上で、ユークリッド空間がどういった概念であり、そうでない空間とはどのようなものがあるのか、ということを簡単に説明します。
ユークリッド空間があたりまえの空間ではない、というイメージをつかむことが目的です。
ユークリッド幾何学
編集ユークリッド空間とは、ごく直感的に表現するなら「まっすぐな空間」です。 高等学校までの数学で習った幾何学は、平面や空間など、すべてユークリッド空間上のものです。
ユークリッド空間上の幾何学の研究は、古代エジプトの数学者であるw:エウクレイデス（英語読みではユークリッド）が書いた『原論』という数学書に始まるとされています。そのことにちなんで、ユークリッド空間と名づけられました。 ユークリッド空間での幾何学を、ユークリッド幾何学と言います。
非ユークリッド幾何学
編集ユークリッド空間ではない空間というものを考えてみましょう。ユークリッド空間とはまっすぐな空間のことでしたから、ユークリッド空間でない空間としてまず思い浮かぶのは、曲がった空間です。たとえば丸いボールの表面などの空間を考えてみましょう。
丸いボールの上に三角形をかくことはできますが、その三角形の内角の和は180度を超えてしまいます。 このように、ユークリッド空間では当たり前だと考えられていた図形の性質が、ユークリッド空間でない場合は成り立たないことがあります。 つまり、その空間における幾何学をユークリッド幾何学とは別に考える必要があるのです。 こうして生み出された幾何学が、非ユークリッド幾何学です。