順列・組合せ

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  • 異なる 個から 個を取る順列Permutation パーミテーション):
     
    • 異なる 個から 個を取るとき、重複を許す場合の順列(重複順列):
       
  •  個のもののうち、 個は同じもの、 個は別の同じもの、 個はさらに別の同じもの、……であるとき、これら 個のもの全部で作られる順列:
      ただし、 
  • 異なる 個のものを円形に並べる順列(円順列):
     
  • 異なる 個のものを(時計・反時計回り関係無く)円形に並べる順列(数珠順列) :
     
  • 異なる 個から 個を取る組合せCombination コンビネーション):
     
    • 異なる 個から 個を取るとき、重複を許す場合の組合せ(重複組合せ):
       
  •  
  •  
  •  
  •  

確率

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  • Aが起こらない確率(Aの余事象が起きる確率) :
     
    •  回試行して、少なくとも1回はAが起こる確率 -  回試行して、1回もAが起こらない事象の余事象
       
  • 条件付き確率 - ある事象 B が起こるという条件の下での別の事象 A の確率:
      又は、  
    • 事象Bにかかわらず、事象Aがおこるとき、A,Bは独立と言い、 となる。
    • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこる場合、AはBに完全従属と言い、 となる。
    • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこらない場合、AはBに排反、または、A,Bは排反と言い、 となる。
  • 事象A,Bが同時に起きる(すなわち積事象 の)確率:
     
    • 特に事象A,Bが独立、すなわち のとき:
       
  • 事象AまたはBが起きる(すなわち和事象 の)確率:
     
    • 特に事象A, Bが排反、すなわち のとき:
       
  • 確率pで事象Aが起こる試行を独立に 回行うとき、事象Aがちょうど 回起こる確率(反復試行の確率):
     

統計

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平均値・分散・標準偏差

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以下、この節では度数分布表の階級値を とし、それに対応する度数を 、総度数を とする。

  • 度数分布表からの平均値 :
     
    • また、このときの分散 と標準偏差s:
       
       
  • ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値を とする (すなわち   )ときの平均値 :
      ただし、 
    • また、このときの標準偏差s:
        ただし、 
  • 分散   について、
     
  • 共分散  について、
     
  •  
  •   (期待値の線形性)
  •  

  の相関係数   について

 

確率変数   に対し、   が成り立つとき、またそのときに限り、   は独立であるという。

  が独立のとき

  •  
  •  
  •  

確率分布・二項分布

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  • 確率変数 が二項分布 に従う場合の平均値 , 分散 , 標準偏差 :
     
     
     

正規分布

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  • 平均   ,分散   の正規分布   に従う確率変数の確率密度関数   
  •   が十分に大きいとき、二項分布   は正規分布   で近似できる。
  • 確率変数   が正規分布   に従うとき、  は標準正規分布   に従う。
    •