初等数学公式集/確率・統計

順列・組合せ

• 異なる$n$個から$r$個を取る順列（Permutation パーミテーション）：

  ${}_{n}{\rm {P}}_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)={\frac {n!}{(n-r)!}}$

  • 異なる$n$個から$r$個を取るとき、重複を許す場合の順列（重複順列）：

    $\displaystyle n^{r}={}_{n}{\rm {\Pi }}_{r}$

• $n$個のもののうち、$p^{1}$個は同じもの、$p^{2}$個は別の同じもの、$p^{3}$個はさらに別の同じもの、……であるとき、これら$n$個のもの全部で作られる順列:

  ${\frac {n!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}!\cdots p_{k}!}}$ ただし、$n=p^{1}+p^{2}+p^{3}+\cdots +p^{k}$

• 異なる$n$個のものを円形に並べる順列（円順列）:

  $\displaystyle (n-1)!$

• 異なる$n$個のものを（時計・反時計回り関係無く）円形に並べる順列（数珠順列） :

  $\displaystyle {\frac {(n-1)!}{2}}$

• 異なる$n$個から$r$個を取る組合せ（Combination コンビネーション）：

  ${}_{n}{\rm {C}}_{r}={n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1) \over r\times (r-1)\times \cdots \times 1}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

  • 異なる$n$個から$r$個を取るとき、重複を許す場合の組合せ（重複組合せ）：

    $\displaystyle {}_{n+r-1}{\rm {C}}_{r}={}_{n}{\rm {\mathrm {H} }}_{r}$

• $_{n}C_{r}={\frac {_{n}P_{r}}{r!}}$
• $_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}$
• $_{n}C_{r}=_{n-1}C_{r}+_{n-1}C_{r-1}$
• $r_{n}C_{r}=n_{n-1}C_{r-1}$

確率

• Aが起こらない確率（Aの余事象が起きる確率）$P({\bar {A}})$:

  $P({\bar {A}})=1-P(A)$

  • $n$回試行して、少なくとも1回はAが起こる確率 - $n$回試行して、1回もAが起こらない事象の余事象

    $P_{n}(A)=1-(1-P(A))^{n}$

• 条件付き確率 - ある事象 B が起こるという条件の下での別の事象 A の確率:

  $\displaystyle P(A\mid B)$ 又は、 $\displaystyle P_{B}(A)$

  • 事象Bにかかわらず、事象Aがおこるとき、A,Bは独立と言い、$P(A\mid B)=P(A)$となる。
  • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこる場合、AはBに完全従属と言い、$P(A\mid B)=1$となる。
  • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこらない場合、AはBに排反、または、A,Bは排反と言い、$P(A\mid B)=0$となる。
• 事象A,Bが同時に起きる（すなわち積事象$A\cap B$の）確率:

  $\displaystyle P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$

  • 特に事象A,Bが独立、すなわち$P(A\mid B)=P(A)$のとき:

    $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$

• 事象AまたはBが起きる（すなわち和事象$A\cup B$の）確率:

  $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

  • 特に事象A, Bが排反、すなわち$P(A\cap B)=0$のとき:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

• 確率pで事象Aが起こる試行を独立に$n$回行うとき、事象Aがちょうど$r$回起こる確率(反復試行の確率):

  $\displaystyle {}_{n}{\rm {C}}_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}$

統計

平均値・分散・標準偏差

以下、この節では度数分布表の階級値を$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$とし、それに対応する度数を$f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n}$、総度数を$n$とする。

• 度数分布表からの平均値${\overline {x}}$:

  ${\overline {x}}={\frac {x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{N}}$

  • また、このときの分散$s^{2}$と標準偏差s:

    $s^{2}={\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}f_{1}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}f_{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}f_{n}}{N}}$

    $s={\sqrt {\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}f_{1}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}f_{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}f_{n}}{N}}}$

• ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値を$u_{k}$とする　(すなわち$u_{k}={\frac {x_{k}-a}{c}}$ $(k=1,2,\cdots ,n)$)ときの平均値${\overline {x}}$:

  ${\overline {x}}=a+c{\overline {u}}$　ただし、${\overline {u}}={\frac {u_{1}f_{1}+u_{2}f_{2}+\cdots +u_{n}f_{n}}{N}}$

  • また、このときの標準偏差s:

    $s=cs_{u}$　ただし、$s_{u}^{2}={\frac {(u_{1}-{\overline {u}})^{2}f_{1}+(u_{2}-{\overline {u}})^{2}f_{2}+\cdots +(u_{n}-{\overline {u}})^{2}f_{n}}{N}}$

• 分散 $V(X)=E[(X-E(X))^{2}]$ について、

  $V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}$

• 共分散 $\operatorname {Cov} (X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$について、

  $\operatorname {Cov} (X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
• $E(aX)=aE(X)$ (期待値の線形性)
• $V(aX)=a^{2}V(X)$

$X,Y$ の相関係数 $\rho$ について

$\rho ={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{{\sqrt {V(X)}}{\sqrt {V(Y)}}}}$

確率変数 $X,Y$ に対し、 $P(X<a,Y<b)=P(X<a)P(Y<b)$ が成り立つとき、またそのときに限り、 $X,Y$ は独立であるという。

$X,Y$ が独立のとき

• $E(XY)=E(X)E(Y)$
• $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
• $\operatorname {Cov} (X,Y)=0$

確率分布・二項分布

• 確率変数$X$が二項分布$B(n\ ,\ p)$に従う場合の平均値$E(X)$, 分散$V(X)$, 標準偏差$D(X)$:

  $\ E(X)=np\$

  $\ V(X)=np(1-p)\$

  $\ D(X)={\sqrt {np(1-p)}}$

正規分布

• 平均 $\mu$ ,分散 $\sigma ^{2}$ の正規分布 $N(\mu ,\sigma ^{2})$ に従う確率変数の確率密度関数 $f(x)$ は $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

• $n$ が十分に大きいとき、二項分布 $B(n\ ,\ p)$ は正規分布 $N(np,np(1-p))$ で近似できる。
• 確率変数 $X$ が正規分布 $N(\mu ,\sigma ^{2})$ に従うとき、$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。
  • $P(|Z|\leq 1.96)=0.95$