メインメニューを開く

Wikibooks β

初等数学公式集

"公式とは、数式で表される定理のことである " (出典:フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』- 公式

以下に、日本の数学教育において大学入学程度の水準までに用いられる、主な公式をジャンルごとに分けて記しておく。

目次

初等幾何編集

三平方の定理編集

  • 直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをab、斜辺の長さをcとすると、以下の関係が成り立つ。:
    •  
  • 三角形の三辺の長さa,b,c を満たすとき、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形となる。

(参考) 三平方の定理

正弦定理編集

  において、 , 外接円の半径を   とすると、

  •  

(参考)正弦定理

余弦定理編集

  において、  とすると

第一余弦定理編集

  •  
  •  
  •  

第二余弦定理編集

  •  
  •  
  •  

(参考)余弦定理

多角形編集

  • n角形の内角の和:
     
  • n角形の対角線の本数:
     

編集

  • 半径rの円の円周l:
    •  
  • 半径r、中心角a(度)の扇形の弧の長さl:
    •  
  • 半径rの円の中心点Oと弦ABとの距離をaとしたときの弦ABの長さ:
     
 
方べきの定理・図1
 
方べきの定理・図2
 
方べきの定理・図3
  • 方べきの定理:
    • 点Pを通る2本の直線が円とそれぞれ2点A、Bと2点C、Dで交わっているとき(図1、図2):
       
    • 円外の点Pを通る2本の直線の一方が点Tで円に接し、他方が2点A、Bで交わっているとき(図3):
       

(参考) 方べきの定理

立体図形編集

  • 縦の長さa、横の長さb、高さh の直方体の対角線 l
     
  • 底面の半径をr、母線の長さ lの円錐の高さ h
     
  • 凸面体の頂点の数をv、辺の数をe、面の数をfとすると以下の関係が成り立つ(オイラーの多面体定理):
     

図形と方程式編集

  • 中心座標 、半径rの円の方程式(標準形):
     
  • 円の方程式の一般形
      ただし、 
  •  上の点P における接線:
     
  • 2点A , B 間の距離:
     
  • P  と直線 の距離:
     
  • 原点O・点 ・点 を結んでできる三角形OABの面積S:
     
    ただし はそれぞれ直線ABx切片・y切片。
    または  
  • 2次関数( )上の3点   を結んで出来る三角形ABCの面積S:
      ,   ,  とすると、
     

面積と体積編集

平面図形の面積編集

解説はこちらのページをご覧ください

  • 三角形
    • 底辺のながさ a、高さ h の三角形の面積 S
       
    • 二辺のながさが a, b でその間の角が θ である三角形の面積 S
       
    • ある辺のながさが a でその両端の角が θ, δ である三角形の面積 S
       
    • 三辺のながさが a, b, c で内接する円の半径が r である三角形の面積 S
       
    • 三辺のながさが a, b, c である三角形の面積 S:(ヘロンの公式)
       
      また、  とすると、 
      • 内接円の半径を   とすると、三角形の面積  
        従って、  
    • 一辺のながさ a の正三角形の面積 S
       
  • 四角形
    • 縦のながさ a、横のながさ b の長方形の面積 S
       
    • 一辺のながさ a の正方形の面積 S
       
    • 底辺のながさ a、高さ h の平行四辺形の面積 S
       
    • 上底のながさ a、下底のながさ b、高さ h の台形の面積 S
       
    • 対角線のながさ a、もう一つの対角線のながさ b のひし形の面積 S
       
    • 四辺の長さがa,b,c,dで円に内接する四角形の面積S:(ブラーマグプタの公式)
       
      また、  とすると、 
  • 正多角形
    • 一辺のながさ a の正n角形の面積 S:
       
  • 円と扇形
    • 半径 r の円の面積 S
       
    • 半径 r 、中心角a(度)の扇形の面積S:
       
    • 半径 r 、中心角 θ(rad) の扇形の面積 S:
       
    • 半径 r 、弧の長さlの扇形の面積 S
       

立体図形の面積編集

解説はこちらのページをご覧ください

  • 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の表面積 S
     
    • 底面積 B
       
    • 側面積 A
       
  • 一辺のながさ a の立方体の表面積 S
     
  • 底面の周の長さ l、高さ h の柱体の側面積 S
     
  • 半径rの球の表面積S:
     

体積編集

解説はこちらのページをご覧ください

 
直方体
  • 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の体積 V
     
  • 一辺のながさ a の立方体の体積 V
     
  • 底面積 S、高さ h の柱体の体積 V
     
  • 底面積 S、高さ h の錐体の体積 V
     
  • 一辺のながさ a の正四面体の体積 V
     
  • 一辺のながさ a の正八面体の体積 V
     
  • 一辺のながさ a の正十二面体の体積 V
     
  • 一辺のながさ a の正二十面体の体積 V
     
  • 球の体積 V
     

ベクトル編集

以下に挙げる公式で空間ベクトルで成り立つものは、その   成分を  とした平面ベクトルでも成り立つ。

  •    の成す角が   のとき
     
  •  ,  のとき、
 
  •  ,  , O は原点とするときの三角形 OAB の面積  
     
とくに、 ,  とすると、
 
  • 二つのベクトル  ,   に対し、
     
よって、
 
等号成立は、実数 k があって   とできるときのみ。

初等代数編集

展開公式編集

解説はこちらのページをご覧ください

  • 基本公式
    •  
    •  
    •  
  • 累乗
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
  • 応用
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  の展開式の一般項(多項定理):
      •   (ただし、n=p + q + r)
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  

式の変形編集

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

絶対不等式編集

  • 正の実数からのみ成る数列   に対し、
     
等号成立は a1 = a2 = … = an のときのみ。(相加平均と相乗平均の関係式)
  • 複素数から成る数列   に対し、
     
等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。(三角不等式)
  • 二つの数列  ,   に対し、
     
等号成立は、複素数 zb1 = za1, b2 = za2, ..., bn = zan が全て成り立つようなものが存在するときに限る。(コーシー・シュワルツの不等式)

方程式編集

  • 1次方程式   の解の公式:
     
  • 2次方程式   の解の公式:
     
    •   の場合:
       
    •   (  において  ) の場合 :
       

※上記の3つの公式の判別式Dは、全て根号の中の式である。

  • 2次方程式  の2つの解を とすると:
 

であり、この は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)

    •  
       
    •   (  において  ) の2つの解を とすると:
       
      であり、この は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)
      零点の和 :  
      零点の積 :  

数の性質編集

整数編集

  • 自然数Nが相異なる素数 を用いて と素因数分解されるとき、
Nの約数の個数は 
また、その約数の総和は 
  • 自然数Q,Nに対し、1以上Q以下のNの倍数の個数。:
      ただし、 はガウス記号。
    • 自然数P,Q,Nに対し、P以上Q以下のNの倍数の個数
        ただし、 はガウス記号。
  • 自然数a,bについて、それらの最大公約数をg、最小公倍数をlとすると、以下の関係が成り立つ。:
     
  • 奇数の和:
     
  • abを互いに素な整数とするとき、1次不定方程式 を満たす整数解:
      (kは整数)

分数編集

  •   
  •  

複素数編集

  •  
  •   (オイラーの式)
  •  
  • 複素数のべき乗:(ド・モアブルの定理)
     

行列編集

Eを2次単位行列、Oを2×2の零行列とすると、任意の2次正方行列   について

  •   (ケイリー・ハミルトンの定理)

集合編集

  • 演算規則
    • 交換法則
 
 
    • 結合法則
 
 
    • 分配法則
 
 
  • ド・モルガンの法則
 
 
  • 集合の要素の個数
 

初等関数の性質編集

  • xaからbまで変化させたときの関数 の変化の割合(平均変化率):
     

一次関数編集

  • 2点  ,   を通る直線の式:
     
    • 2点  切片 ,  切片 (但し、ab≠0とする)を通る直線の式:
       
  •   を通り、傾き   の直線の式:
     
    • 傾き   を方向ベクトル と捉えると:
       

接線の方程式編集

  • 関数 のグラフ上の点 における接線:
     
  • 楕円 上の点 における接線:
     
  • 双曲線 上の点 における接線:
     
  • 放物線 上の点 における接線:
     

二次関数編集

  •   を頂点とし,2次の項の係数が   である二次関数の式:
     
  •   を頂点とし,点   を通る二次関数の式:
     
  • 2点  ,   を通り,2階微分の係数が   である二次関数の式:
     
  • 3点  ,  ,   を通る二次関数の式:
     

関数のグラフの移動編集

平行移動編集

  •  の表すグラフを x軸方向にay軸方向にb移動したときのグラフを表す式:
     

対称移動編集

  •  の表すグラフを x軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
     
  •  の表すグラフを y軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
     
  •  の表すグラフを原点に関して対称移動したときのグラフを表す式:
     
  •  の表すグラフを  に関して対称移動したときのグラフを表す式:
     

三角関数編集

基本公式編集

  •  
     
     
     
     
     
  • 三角比の相互関係
     (ピタゴラスの基本三角公式)
     
     
     

補角の公式(還元公式)編集

  •  
     
     

余角の公式(還元公式)編集

  •  
     
     

負角の公式(還元公式)編集

  •  
     
     

加法定理編集

  •  
  •  
  •  

(すべて複号同順)

二倍角の公式編集

  •  
  •  
  •  

半角の公式編集

  •  
  •  
  •  
  •  

和積の公式編集

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

三角関数の合成編集

  •  ただし、 

指数関数・対数関数編集

以下、この節内では a, b ,c は実数とする。

指数関数編集

  •  
  •  
  •  
  •  

対数関数編集

以下a>0かつa≠1とし、また対数の真数として表れるものはすべて正とする。

  •  
  •  
  •  
  •  
    • 特に ,  

三次元空間編集

  • 2点A , B 間の距離:
     

直線の式編集

  •   を通り、方向ベクトルが である直線の式:
     
    • 2点  ,   を通る直線の式:
       

平面の式編集

  • 一般式
     
    •   を通り、法線ベクトルが である平面の式:
       
    • 3点  切片 ,  切片 ,  切片 (ただしabc≠0とする)を通る直線の式:
       
  • P  と直線 の距離:
     

球面の式編集

  • 中心座標 、半径rの球の方程式(標準形):
     

初等解析編集

数列と極限編集

数列編集

  •  
  •  
  •  
  •  
  • すべての自然数   に対し   のとき、
 

数列・級数の極限編集

  • 数列   が、  が十分大きいとき常に   を満たし、  となるならば、  も収束し、
     

(はさみうちの原理)

  • 数列   に対して,  ,   ならば、
  1.   ただし   は定数。
  2.   (複号同順)。
  3.  
  4.    (ただし、 )。
  • 数列   について、
  1.   ならば  
  2.   ならば  
  3.   ならば  
  4.    ならば   は存在しない。
  • 級数:   について、
  1.   のとき  
  2.    のとき   は発散する。

関数の極限編集

  •  ,  のとき、
  1.   ただし、  は定数。
  2.   (複号同順)。
  3.  
  4.   ただし、 
  •   のある近傍で定義された関数 ,  ,   があり、この近傍内の任意の   に対して、    かつ   ならば、  は収束し、
     
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   (  は正定数)。
  •  

微積分編集

  •   (微積分学の基本定理)

微分編集

 , 変数 x の微分可能な関数 f, g に対して

  •  
  •   (ライプニッツ則)
  •  
  •  
    別の表現で    (チェインルール)
  •  
     とおくと、   とも表せる。
  • 媒介変数による微分   ならば  

実数   に対して

  •  
  •  
    特に、 
  •  
    特に、 
  •  
  •  
  •  
  •  

積分編集

  •  
  •  
    ただし、t = a, b のとき、それぞれ x = α, β。
  •  
    ただし、  と略記。
    別の表現: 
  •   (コーシー・シュワルツの不等式)

確率・統計編集

順列・組合せ編集

  • 異なるn個からr個を取る順列:
     
    • 異なるn個からr個を取るとき、重複を許す場合の順列(重複順列):
       
  • n個のもののうち、p1個は同じもの、p2個は別の同じもの、p3個はさらに別の同じもの、……であるとき、これらn個のもの全部で作られる順列:
      ただし、n=p1 + p2 + p3+ … +pk
  • 異なるn個のものを円形に並べる順列(円順列):
     
  • 異なるn個のものを(時計・反時計回り関係無く)円形に並べる順列(数珠順列) :
     
  • 異なるn個からr個を取る組合せ:
     
    • 異なるn個からr個を取るとき、重複を許す場合の組合せ(重複組合せ):
       

確率編集

  • Aが起こらない確率(Aの余事象が起きる確率) :
     
  • 事象A,Bが同時に起きる(すなわち積事象 の)確率:
     
    • 特に事象A,Bが独立、すなわち のとき:
       
  • 事象AまたはBが起きる(すなわち和事象 の)確率:
     
    • 特に事象A, Bが排反、すなわち のとき:
       
  • 確率pで事象Aが起こる試行を独立にn回行うとき、事象Aがちょうどr回起こる確率(反復試行の確率):
     

平均値・分散・標準偏差編集

以下、この節では度数分布表の階級値を とし、それに対応する度数を 、総度数をNとする。

  • 度数分布表からの平均値 :
     
    • また、このときの分散 と標準偏差s:
       
       
  • ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値を とする (すなわち   )ときの平均値 :
      ただし、 
    • また、このときの標準偏差s:
        ただし、 
  • 確率変数 が二項分布 に従い、 とする場合の平均値 , 分散 , 標準偏差 :