三平方の定理編集
- 直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、以下の関係が成り立つ。:
-
- 三角形の三辺の長さa,b,cが を満たすとき、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形となる。
(参考) 三平方の定理
において、 , 外接円の半径を とすると、
-
(参考)正弦定理
において、 とすると
第一余弦定理編集
-
-
-
第二余弦定理編集
-
-
-
(参考)余弦定理
- n角形の内角の和:
-
- n角形の対角線の本数:
-
- 半径rの円の円周l:
-
- 半径r、中心角a(度)の扇形の弧の長さl:
-
- 半径rの円の中心点Oと弦ABとの距離をaとしたときの弦ABの長さ:
-
- 方べきの定理:
- 点Pを通る2本の直線が円とそれぞれ2点A、Bと2点C、Dで交わっているとき(図1、図2):
-
- 円外の点Pを通る2本の直線の一方が点Tで円に接し、他方が2点A、Bで交わっているとき(図3):
-
(参考) 方べきの定理
メネラウスの定理。A→F→B→D→C→E→Aの順で循環する。
- メネラウスの定理
- 任意の直線 と三角形ABCにおいて、直線 とBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。
-
- チェバの定理
- 三角形ABCにおいて、任意の点 をとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点 は、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。
-
- 縦の長さa、横の長さb、高さh の直方体の対角線 l:
-
- 底面の半径をr、母線の長さ lの円錐の高さ h:
-
- 凸面体の頂点の数をv、辺の数をe、面の数をfとすると以下の関係が成り立つ(オイラーの多面体定理):
-
図形と方程式編集
- 中心座標 、半径rの円の方程式(標準形):
-
- 円の方程式の一般形
- ただし、 。
- 円 上の点P における接線:
-
- 2点A , B 間の距離:
-
- 点P と直線 の距離:
-
- 原点O・点 ・点 を結んでできる三角形OABの面積S:
-
- ただし はそれぞれ直線ABのx切片・y切片。
- または (サラスの公式)
- 2次関数( )上の3点 ・ ・ を結んで出来る三角形ABCの面積S:
- , , とすると、
-
面積と体積編集
平面図形の面積編集
解説はこちらのページをご覧ください
- 三角形
- 底辺のながさ a、高さ h の三角形の面積 S:
-
- 二辺のながさが a, b でその間の角が θ である三角形の面積 S:
-
- ある辺のながさが a でその両端の角が θ, δ である三角形の面積 S:
-
- 三辺のながさが a, b, c で内接する円の半径が r である三角形の面積 S:
-
- 三辺のながさが a, b, c である三角形の面積 S:(ヘロンの公式)
-
- また、 とすると、
- 内接円の半径を とすると、三角形の面積
- 従って、
- 一辺のながさ a の正三角形の面積 S:
-
- 四角形
- 縦のながさ a、横のながさ b の長方形の面積 S:
-
- 一辺のながさ a の正方形の面積 S:
-
- 底辺のながさ a、高さ h の平行四辺形の面積 S:
-
- 上底のながさ a、下底のながさ b、高さ h の台形の面積 S:
-
- 対角線のながさ a、もう一つの対角線のながさ b のひし形の面積 S:
-
- 四辺の長さがa,b,c,dで円に内接する四角形の面積S:(ブラーマグプタの公式)
-
- また、 とすると、
- 正多角形
- 一辺のながさ a の正n角形の面積 S:
-
- 円と扇形
- 半径 r の円の面積 S:
-
- 半径 r 、中心角a(度)の扇形の面積S:
-
- 半径 r 、中心角 θ(rad) の扇形の面積 S:
-
- 半径 r 、弧の長さlの扇形の面積 S:
-
立体図形の面積編集
解説はこちらのページをご覧ください
- 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の表面積 S:
-
- 底面積 B:
-
- 側面積 A:
-
- 一辺のながさ a の立方体の表面積 S:
-
- 底面の周の長さ l、高さ h の柱体の側面積 S:
-
- 半径rの球の表面積S:
-
解説はこちらのページをご覧ください
- 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の体積 V:
-
- 一辺のながさ a の立方体の体積 V:
-
- 底面積 S、高さ h の柱体の体積 V:
-
- 底面積 S、高さ h の錐体の体積 V:
-
- 一辺のながさ a の正四面体の体積 V:
-
- 一辺のながさ a の正八面体の体積 V:
-
- 一辺のながさ a の正十二面体の体積 V:
-
- 一辺のながさ a の正二十面体の体積 V:
-
- 球の体積 V:
-
以下に挙げる公式で空間ベクトルで成り立つものは、その 成分を とした平面ベクトルでも成り立つ。
- と の成す角が のとき
-
- , のとき、
-
- , , O は原点とするときの三角形 OAB の面積 :
-
- とくに、 , とすると、
-
- 二つのベクトル , に対し、
-
- よって、
-
- 等号成立は、実数 k があって とできるときのみ。
解説はこちらのページをご覧ください
- 基本公式
-
-
-
- 累乗
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- 応用
-
-
-
-
-
-
- の展開式の一般項(多項定理):
- (ただし、n=p + q + r)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
絶対不等式編集
- 正の実数からのみ成る数列 に対し、
-
- 等号成立は a1 = a2 = … = an のときのみ。(相加平均と相乗平均の関係式)
- 複素数から成る数列 に対し、
-
- 等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。(三角不等式)
- 二つの数列 , に対し、
-
- 等号成立は、複素数 z で b1 = za1, b2 = za2, ..., bn = zan が全て成り立つようなものが存在するときに限る。(コーシー・シュワルツの不等式)
- 1次方程式 の解の公式:
-
- 2次方程式 の解の公式:
-
- の場合:
-
- ( において ) の場合 :
-
- ※上記の3つの公式の根号の中の式は、各方程式の判別式Dとなる。
- 2次方程式 の2つの解を とすると:
-
- であり、この は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)
-
-
- ( において ) の2つの解を とすると:
-
- であり、この は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)
- 零点の和 :
- 零点の積 :
- 3次方程式 の3つの解を とすると:
-
- であり、この は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)
-
-
-
- 自然数Nが相異なる素数 を用いて と素因数分解されるとき、
- Nの約数の個数は
- また、その約数の総和は
- 自然数Q,Nに対し、1以上Q以下のNの倍数の個数。:
- ただし、 はガウス記号。
- 自然数P,Q,Nに対し、P以上Q以下のNの倍数の個数
- ただし、 はガウス記号。
- 自然数a,bについて、それらの最大公約数をg、最小公倍数をlとすると、以下の関係が成り立つ。:
-
- 奇数の和:
-
- a、bを互いに素な整数とするとき、1次不定方程式 を満たす整数解:
- (kは整数)
-
-
- (オイラーの式)
-
- 複素数のべき乗:(ド・モアブルの定理)
-
Eを2次単位行列、Oを2×2の零行列とすると、任意の2次正方行列 について
- (ケイリー・ハミルトンの定理)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
初等関数の性質編集
- xをaからbまで変化させたときの関数 の変化の割合(平均変化率):
-
- 2点 , を通る直線の式:
-
- 2点 切片 , 切片 (但し、ab≠0とする)を通る直線の式:
-
- 点 を通り、傾き の直線の式:
-
- 傾き を方向ベクトル と捉えると:
-
接線の方程式編集
- 関数 のグラフ上の点 における接線:
-
- 楕円 上の点 における接線:
-
- 双曲線 上の点 における接線:
-
- 放物線 上の点 における接線:
-
- 点 を頂点とし,2次の項の係数が である二次関数の式:
-
- 点 を頂点とし,点 を通る二次関数の式:
-
- 2点 , を通り,2階微分の係数が である二次関数の式:
-
- 3点 , , を通る二次関数の式:
-
関数のグラフの移動編集
- の表すグラフを x軸方向にa、 y軸方向にb移動したときのグラフを表す式:
-
- の表すグラフを x軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
-
- の表すグラフを y軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
-
- の表すグラフを原点に関して対称移動したときのグラフを表す式:
-
- の表すグラフを に関して対称移動したときのグラフを表す式:
-
-
-
-
-
-
-
- 三角比の相互関係
- (ピタゴラスの基本三角公式)
-
-
-
補角の公式(還元公式)編集
-
-
-
余角の公式(還元公式)編集
-
-
-
負角の公式(還元公式)編集
-
-
-
-
-
-
(すべて複号同順)
二倍角の公式編集
-
-
-
半角の公式編集
-
-
-
-
和積の公式編集
-
-
-
-
積和の公式編集
-
-
-
-
三角関数の合成編集
- ただし、
指数関数・対数関数編集
以下、この節内では a, b ,c は実数とする。
-
-
-
-
以下a>0かつa≠1とし、また対数の真数として表れるものはすべて正とする。
-
-
-
-
- 特に ,
-
三次元空間編集
- 2点A , B 間の距離:
-
- 点 を通り、方向ベクトルが である直線の式:
-
- 2点 , を通る直線の式:
-
- 一般式
-
- 点 を通り、法線ベクトルが である平面の式:
-
- 3点 切片 , 切片 , 切片 (ただしabc≠0とする)を通る直線の式:
-
- 点P と直線 の距離:
-
- 中心座標 、半径rの球の方程式(標準形):
-
数列と極限編集
- 等差数列(算術数列)
- 初項を とし、公差を とすれば、 番目の項 は
-
- 等比数列(幾何数列)
- 初項を とし、公比を とすれば、 番目の項 は
-
-
-
-
-
-
数列の和の性質(線形性)編集
-
-
漸化式と一般項編集
- (定数) のとき、
- 一般項は、 [等差数列]
- のとき、
- 一般項は、 [階差数列]
- のとき、
- 一般項は、 [等比数列]
等比数列となる漸化式の応用編集
- のとき、
-
- ここで、
- とすると、
- 元の漸化式は、
- となり、これは等比数列なので、一般項は、 となる。
-
- かつ、 なので、
- 一般項は、 となる。
数列・級数の極限編集
- 数列 が、 が十分大きいとき常に を満たし、 となるならば、 も収束し、
-
(はさみうちの原理)
- 数列 に対して, , ならば、
- ただし は定数。
- (複号同順)。
-
- (ただし、 )。
- 数列 について、
- ならば 。
- ならば 。
- ならば 。
- ≤ ならば は存在しない。
- 級数: について、
- のとき 。
- ≥ のとき は発散する。
関数の極限編集
- , のとき、
- ただし、 は定数。
- (複号同順)。
-
- ただし、 。
- のある近傍で定義された関数 , , があり、この近傍内の任意の に対して、 ≤ ≤ かつ ならば、 は収束し、
-
-
-
-
-
- ( は正定数)。
-
- (微積分学の基本定理)
, 変数 x の微分可能な関数 f, g に対して
-
- (ライプニッツ則)
-
-
- 別の表現で (チェインルール)
-
- とおくと、 で とも表せる。
- 媒介変数による微分 ならば
-
-
- ただし、t = a, b のとき、それぞれ x = α, β。
-
- ただし、 と略記。
- 別の表現:
- (コーシー・シュワルツの不等式)
基本的な関数の微分公式・積分公式編集
実数 に対して
- ⇔
- ⇔
- 従って、 ⇔
- ⇔
-
- ⇔
-
- ⇔
- ⇔
-
-
-
確率・統計編集
順列・組合せ編集
- 異なるn個からr個を取る順列:
-
- 異なるn個からr個を取るとき、重複を許す場合の順列(重複順列):
-
- n個のもののうち、p1個は同じもの、p2個は別の同じもの、p3個はさらに別の同じもの、……であるとき、これらn個のもの全部で作られる順列:
- ただし、n=p1 + p2 + p3+ … +pk
- 異なるn個のものを円形に並べる順列(円順列):
-
- 異なるn個のものを(時計・反時計回り関係無く)円形に並べる順列(数珠順列) :
-
- 異なるn個からr個を取る組合せ:
-
- 異なるn個からr個を取るとき、重複を許す場合の組合せ(重複組合せ):
-
-
-
-
-
- Aが起こらない確率(Aの余事象が起きる確率) :
-
- 事象A,Bが同時に起きる(すなわち積事象 の)確率:
-
- 特に事象A,Bが独立、すなわち のとき:
-
- 事象AまたはBが起きる(すなわち和事象 の)確率:
-
- 特に事象A, Bが排反、すなわち のとき:
-
- 確率pで事象Aが起こる試行を独立にn回行うとき、事象Aがちょうどr回起こる確率(反復試行の確率):
-
平均値・分散・標準偏差編集
以下、この節では度数分布表の階級値を とし、それに対応する度数を 、総度数をNとする。
- 度数分布表からの平均値 :
-
- また、このときの分散 と標準偏差s:
-
-
- ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値を とする (すなわち )ときの平均値 :
- ただし、
- また、このときの標準偏差s:
- ただし、
-
- 確率変数 が二項分布 に従い、 とする場合の平均値 , 分散 , 標準偏差 :
-
-
-