- 等差数列(算術数列)
- 初項を とし、公差を とすれば、 番目の項 は
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- 等比数列(幾何数列)
- 初項を とし、公比を とすれば、 番目の項 は
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- 順々に出現する自然数 について(離散的)、命題が成立することの証明法。
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- (手順)
- のときに、命題が成り立つことを証明。
- のときに、その命題が成り立つことを仮定して,演算を行なって のときその命題が成り立つことを証明する。
- 1.及び2.により、与えられた命題はすべての自然数 について成り立つことが証明された。
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- (事例)一般項の式が漸化式を満たすことの証明
- のとき、一般項は、 (命題※)となることの証明。
- のとき、 。一般項の式: 、となり命題※は成立。
- のとき、命題※が成立していると仮定。
- のとき、
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- となり、 のときも命題※は成立している。
- 1.及び2.により、命題※はすべての自然数 について成り立つ。
- 自然数 に対応する数列 について、 が無限に大きくなるものを無限数列といい、無限に大きくする操作を と記述する。
- による数列 の挙動には以下のものがある。
- ある実数 に限りなく近づく[1]。これを、 と表記し、「数列 は、 に収束する」という。
- (例) , いずれも、 となる。
- が無限に大きくなることで収束しない場合を、発散するという。
- が無限に大きくなると も無限に大きくなる。これを、 と表記し、「数列 は、正の無限大に発散する」という。
- (例) , いずれも、 となる。
- が無限に大きくなると は負の方向に無限に大きくなる[2]。これを、 と表記し、「数列 は、負の無限大に発散する」という。
- (例) , いずれも、 となる。
- が無限に大きくなると は、 の値によって、正または負の値いずれかを取り、収束しない。これを振動するという。なお、 は、振動し収束しないが発散の範疇とは通常しない。
- (例)
- 上記の場合で、振動しないものを「極限がある」といい、振動するものを「極限がない」という。
- 数列 が、 が十分大きいとき常に を満たし、 となるならば、 も収束し、
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(はさみうちの原理)
- 数列 が が十分大きいとき常に を満たし、 となるならば、
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(追い出しの原理)
- 数列 に対して, , ならば、
- ただし は定数。
- (複号同順)。
-
- (ただし、 )。
- 数列 について、
- ならば 。(収束)
- ならば 。(収束)
- ならば 。(発散)
- ≤ ならば は存在しない。(振動)
- 数列 において、 ならば
- (証明) であるから とおくと、 のとき、
- 。
- ここで、 を2項定理で展開して、2次の項だけ抽出した。 のとき右辺 であるから、はさみうちの原理により、
- 無限数列 の各項を足し合わせたものを無限級数または単に級数と呼ぶ。和の表現を用いると、 であり、 という数列であると捉えると、 と記すことができる。
- 級数: について、
- のとき 。
- ≥ のとき は発散する。
- (証明)
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- のとき より
- のとき より の極限は発散する。
- ^ 数学的に厳密な表現ではないが、高校数学では足りる。 となる自然数 が存在しているわけではないことに注意。
- ^ 「無限に小さくなる」は、基本的に「 に近づく」を意味するので、この表現を用いる。