一般項

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  • 等差数列(算術数列)
    初項を   とし、公差を  とすれば、 番目の項  
     
  • 等比数列(幾何数列)
    初項を   とし、公比を  とすれば、 番目の項  
     

数列の和

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数列   に関して、  について区間 で足し上げた総和を記号: (シグマ)を用いて、 と表す。

数列の和の性質

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  •  
線形性
  •  
  •  

数列の和の公式

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  •  
     
  •   (証明
     
  •   (証明
     
  •   (証明
     
  •     等差数列の和
     
  •     等比数列の和

漸化式と一般項

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初項 の値と、第  と第  の関係によって数列を定義することができる。このような定義のしかたを数列の帰納的定義といい、  のような関係式を漸化式という。

二項間漸化式

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※以下、初項 は所与

  •  (定数) のとき、
    一般項は、   [等差数列]
  •   のとき、
    一般項は、   [等比数列]
  •   のとき、
    一般項は、   [階差数列]
    • 階差数列の拡張
       の一般項は不明であるが、数列の和  を漸化式 として、 の式で与えられていたり、 を含んだ関係式が示されているとき、
        ,  
      の性質を用い、 の一般項を求める。

等比数列となる漸化式の応用

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  •     のとき、
     
    ここで、
      とすると、
    元の漸化式は、
      となり、これは等比数列なので、一般項は、  となる。
      かつ、  なので、
    一般項は、  となる。

三項間漸化式

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※以下、初項 及び第2項 は所与

一般形

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  - ① のとき、
  - ② と変形、
 ・・・  - ③
①と②から、 ,  が成立している(※)ので、①は とも変形でき、③同様、
  - ④となる。
③-④
 
即ち、 
  - ⑤
(参考)
  1. ※から、 は、二次方程式 (特性方程式)の解であることがわかるが、高校の過程では「変形できる」でよい。
  2. 特性方程式の解が、以下に示す重解の場合を除き、有理数である時のみならず、無理数であっても(下記「フィボナッチ数列参照」)、虚数解であっても成立する。

特殊形

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上記②において、 であるとき

変形の結果、以下の式が得られる。
 
両辺を で割ると、
 
ここで、 、左辺は定数なので、 と置くと、この式の形は、 となり、等差数列となる。したがって、
 
 

非斉次形

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 (定数)は以下のように変形して解くことができる。

 
 とおけば、 なので、 は等差数列となり、
 である。これが の階差数列であることから、
 

フィボナッチ数列

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Wikipedia
ウィキペディアフィボナッチ数の記事があります。

以下の関係で定義される数列をフィボナッチ数列という。

 ,  ,   (  ≧3)
上記三項間漸化式にあてはめ、 を解く。
特性方程式: を解くと であるから、
 ,  
を⑤に代入する。 ,  ,  であるから、
 

参考(黄金数)

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Wikipedia
ウィキペディア黄金比の記事があります。
 の正の解; (上記 )との比を黄金比(Golden ratio)、その値を黄金数といい、しばしば、 で表す。
同様に、 と共役関係にある負の解; (上記 )を で表し、フィボナッチ数を以下のように表すこともある。
 
 
 
黄金比・黄金数は、数学のその他の分野にも登場する興味深い数である。

数学的帰納法

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順々に出現する自然数 について(離散的)、命題が成立することの証明法。
 
(手順)
  1.  のときに、命題が成り立つことを証明。
  2.  のときに、その命題が成り立つことを仮定して,演算を行なって のときその命題が成り立つことを証明する。
  3. 1.及び2.により、与えられた命題はすべての自然数 について成り立つことが証明された。
 
(事例)一般項の式が漸化式を満たすことの証明
  のとき、一般項は、  (命題※)となることの証明。
  1.  のとき、  。一般項の式: 、となり命題※は成立。
  2.  のとき、命題※が成立していると仮定。
     のとき、
       
    となり、 のときも命題※は成立している。
  3. 1.及び2.により、命題※はすべての自然数 について成り立つ。

数列・級数の極限

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極限

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自然数   に対応する数列   について、  が無限に大きくなるものを無限数列といい、無限に大きくする操作を   と記述する。
  による数列   の挙動には以下のものがある。
  1. ある実数  限りなく近づく[1]。これを、  と表記し、「数列   は、 収束する」という。
    (例) ,   いずれも、  となる。
  2.   が無限に大きくなることで収束しない場合を、発散するという。
    1.   が無限に大きくなると   も無限に大きくなる。これを、  と表記し、「数列   は、正の無限大に発散する」という。
      (例) ,   いずれも、  となる。
    2.   が無限に大きくなると  負の方向に無限に大きくなる[2]。これを、  と表記し、「数列   は、負の無限大に発散する」という。
      (例) ,   いずれも、  となる。
    3.   が無限に大きくなると   は、  の値によって、正または負の値いずれかを取り、収束しない。これを振動するという。なお、  は、振動し収束しないが発散の範疇とは通常しない。
      (例)  
上記の場合で、振動しないものを「極限がある」といい、振動するものを「極限がない」という。

数列の極限

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  • 数列   が、  が十分大きいとき常に   を満たし、  となるならば、  も収束し、
     

(はさみうちの原理)

  • 数列  が十分大きいとき常に を満たし、 となるならば、
     

(追い出しの原理)

  • 数列   に対して,  ,   ならば、
  1.   ただし   は定数。
  2.   (複号同順)。
  3.  
  4.    (ただし、 )。
  • 数列   について、
  1.   ならば  。(収束)
  2.   ならば  。(収束)
  3.   ならば  。(発散)
  4.    ならば   は存在しない。(振動)
  • 数列   において、  ならば  
(証明)   であるから   とおくと、  のとき、
 
ここで、 を2項定理で展開して、2次の項だけ抽出した。  のとき右辺   であるから、はさみうちの原理により、 

級数の極限

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無限数列   の各項を足し合わせたものを無限級数または単に級数と呼ぶ。和の表現を用いると、 であり、  という数列であると捉えると、  と記すことができる。
  • 級数:   について、
  1.   のとき  
  2.    のとき   は発散する。
(証明) 
 
 のとき より 
 のとき より の極限は発散する。

脚注

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  1. ^ 数学的に厳密な表現ではないが、高校数学では足りる。   となる自然数   が存在しているわけではないことに注意。
  2. ^ 「無限に小さくなる」は、基本的に「  に近づく」を意味するので、この表現を用いる。