一般項

編集
  • 等差数列(算術数列)
    初項を   とし、公差を  とすれば、 番目の項  
     
  • 等比数列(幾何数列)
    初項を   とし、公比を  とすれば、 番目の項  
     

数列の和

編集

数列   に関して、  について区間 で足し上げた総和を記号: (シグマ)を用いて、 と表す。

数列の和の性質

編集
  •  
線形性
  •  
  •  

数列の和の公式

編集
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  (等差数列の和)
  •  (等比数列の和)

漸化式と一般項

編集

初項 の値と、第  と第  の関係によって数列を定義することができる。このような定義のしかたを数列の帰納的定義といい、  のような関係式を漸化式という。

二項間漸化式

編集

※以下、初項 は所与

  •  (定数) のとき、
    一般項は、   [等差数列]
  •   のとき、
    一般項は、   [等比数列]
  •   のとき、
    一般項は、   [階差数列]
    • 階差数列の拡張
       の一般項は不明であるが、数列の和  を漸化式 として、 の式で与えられていたり、 を含んだ関係式が示されているとき、
        ,  
      の性質を用い、 の一般項を求める。

等比数列となる漸化式の応用

編集
  •     のとき、
     
    ここで、
      とすると、
    元の漸化式は、
      となり、これは等比数列なので、一般項は、  となる。
      かつ、  なので、
    一般項は、  となる。

三項間漸化式

編集

※以下、初項 及び第2項 は所与

一般形

編集
  - ① のとき、
  - ② と変形、
 ・・・  - ③
①と②から、 ,  が成立している(※)ので、①は とも変形でき、③同様、
  - ④となる。
③-④
 
即ち、 
  - ⑤
(参考)
  1. ※から、 は、二次方程式 (特性方程式)の解であることがわかるが、高校の過程では「変形できる」でよい。
  2. 特性方程式の解が、以下に示す重解の場合を除き、有理数である時のみならず、無理数であっても(下記「フィボナッチ数列参照」)、虚数解であっても成立する。

特殊形

編集

上記②において、 であるとき

変形の結果、以下の式が得られる。
 
両辺を で割ると、
 
ここで、 、左辺は定数なので、 と置くと、この式の形は、 となり、等差数列となる。したがって、
 
 

非斉次形

編集

 (定数)は以下のように変形して解くことができる。

 
 とおけば、 なので、 は等差数列となり、
 である。これが の階差数列であることから、
 

フィボナッチ数列

編集
 
Wikipedia
ウィキペディアフィボナッチ数の記事があります。

以下の関係で定義される数列をフィボナッチ数列という。

 ,  ,   (  ≧3)
上記三項間漸化式にあてはめ、 を解く。
特性方程式: を解くと であるから、
 ,  
を⑤に代入する。 ,  ,  であるから、
 

数学的帰納法

編集
順々に出現する自然数 について(離散的)、命題が成立することの証明法。
 
(手順)
  1.  のときに、命題が成り立つことを証明。
  2.  のときに、その命題が成り立つことを仮定して,演算を行なって のときその命題が成り立つことを証明する。
  3. 1.及び2.により、与えられた命題はすべての自然数 について成り立つことが証明された。
 
(事例)一般項の式が漸化式を満たすことの証明
  のとき、一般項は、  (命題※)となることの証明。
  1.  のとき、  。一般項の式: 、となり命題※は成立。
  2.  のとき、命題※が成立していると仮定。
     のとき、
       
    となり、 のときも命題※は成立している。
  3. 1.及び2.により、命題※はすべての自然数 について成り立つ。

数列・級数の極限

編集
  • 数列   が、  が十分大きいとき常に   を満たし、  となるならば、  も収束し、
     

(はさみうちの原理)

  • 数列   に対して,  ,   ならば、
  1.   ただし   は定数。
  2.   (複号同順)。
  3.  
  4.    (ただし、 )。
  • 数列   について、
  1.   ならば  
  2.   ならば  
  3.   ならば  
  4.    ならば   は存在しない。
  • 数列   において、  ならば  
(証明)   であるから   とおくと、  のとき、
 
ここで、 を2項定理で展開して、2次の項だけ抽出した。  のとき右辺   であるから、はさみうちの原理により、 
  • 級数:   について、
  1.   のとき  
  2.    のとき   は発散する。