初等数学公式集/初等関数の性質

三角関数

大学受験数学 三角関数/公式集も参照

基本公式

三角関数相互の関係

• ${\frac {\pi }{2}}+\theta$
  • $\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta$
  • $\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-\sin \theta$
  • $\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-{\frac {1}{\tan \theta }}$
• $\pi +\theta$
  • $\sin(\pi +\theta )=-\sin \theta$
  • $\cos(\pi +\theta )=-\cos \theta$
  • $\tan(\pi +\theta )=\tan \theta$

三角比の相互関係

• $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$(ピタゴラスの基本三角公式)
• $\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$
• $1+\tan ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$
• $1+{\frac {1}{\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$

  　

• 鋭角における三角比の相互関係（三角比のいずれかが有理数で表されている場合に有用）

  

  • $\sin \alpha ={\frac {a}{c}}$であるとき。 $\cos \alpha ={\frac {\sqrt {c^{2}-a^{2}}}{c}}$, $\tan \alpha ={\frac {a}{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$
  • $\cos \alpha ={\frac {b}{c}}$であるとき。 $\sin \alpha ={\frac {\sqrt {c^{2}-b^{2}}}{c}}$, $\tan \alpha ={\frac {\sqrt {c^{2}-b^{2}}}{b}}$
  • $\tan \alpha ={\frac {a}{b}}$であるとき。 $\sin \alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, $\cos \alpha ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

負角の公式(還元公式)

• $\sin(-\theta )=-\sin \theta$
• $\cos(-\theta )=\cos \theta$
• $\tan(-\theta )=-\tan \theta$

補角の公式(還元公式)

• $\sin(\pi -\theta )=\sin \theta$
• $\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$
• $\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$

補角の公式と負角の公式との合成

• $\sin(\theta -\pi )=-\sin \theta$
• $\cos(\theta -\pi )=-\cos \theta$
• $\tan(\theta -\pi )=\tan \theta$

余角の公式(還元公式)

• $\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$
• $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$
• $\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}$

余角の公式と負角の公式との合成

• $\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta$
• $\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$
• $\tan \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{\tan \theta }}$

加法定理

証明は高等学校数学II/三角関数#加法定理を参照

• $\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• $\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• $\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

（すべて複号同順）

有名角の値1

• ${\frac {\pi }{12}}(=15^{\circ })$
  1. $\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{6}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{4}}\left({\sqrt {3}}-1\right)$

     　

  2. $\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{6}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)+\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{4}}\left({\sqrt {3}}+1\right)$

     　

  3. $\tan {\frac {\pi }{12}}={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{12}}\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)}}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}+1}}=2-{\sqrt {3}}$
• ${\frac {5\pi }{12}}(=75^{\circ })$
  1. $\sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{6}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)+\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{4}}\left({\sqrt {3}}+1\right)$

     　

  2. $\cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{6}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)-\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{4}}\left({\sqrt {3}}-1\right)$

     　

  3. $\tan {\frac {5\pi }{12}}={\frac {\sin \left({\frac {5\pi }{12}}\right)}{\cos \left({\frac {5\pi }{12}}\right)}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}=2+{\sqrt {3}}$

     　

• なお、余角の公式から、
  1. $\sin {\frac {\pi }{12}}=\cos {\frac {5\pi }{12}}={\frac {\sqrt {2}}{4}}\left({\sqrt {3}}-1\right)$

     　

  2. $\cos {\frac {\pi }{12}}=\sin {\frac {5\pi }{12}}={\frac {\sqrt {2}}{4}}\left({\sqrt {3}}+1\right)$

     　

  3. $\tan {\frac {\pi }{12}}=\tan ^{-1}{\frac {5\pi }{12}}=2-{\sqrt {3}}$

二倍角の公式

加法定理で、$\alpha =\beta$として、

• $\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
• $\displaystyle \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$
• $\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

半角の公式

• $\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos \theta }{2}}$ ← 倍角の公式より、$\cos \theta =1-2\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)$

  　

• $\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos \theta }{2}}$ ← 倍角の公式より、$\cos \theta =2\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)-1$

  　

• $\tan ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$

  　

• $\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}$　

  　

  （拡張）$\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)=t$ とするとき、

  • $\cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ 　←　 $\tan ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=t^{2}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$を$\cos \theta$について解く。
  • $\sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ 　← 　$\sin \theta =\tan \theta \cdot \cos \theta$ に $\tan \theta ={\frac {2\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)}{1-\tan ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}={\frac {2t}{1-t^{2}}},\cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$を代入する。

三倍角の公式

• $\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta$
• $\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta$
• $\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -4\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$

有名角の値2

• ${\frac {\pi }{10}}(=18^{\circ })$

  　

  余角の公式より、等式:$\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{5}}\right)=\cos {\frac {\pi }{5}}$が成立する。

  　

  ここで、${\frac {\pi }{10}}=\theta$とおくと、$\sin 3\theta =\cos 2\theta$となり、二倍角の公式及び三倍角の公式から、$3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =1-2\sin ^{2}\theta$。

  　

  さらに、$\sin \theta =t$とおいて、方程式:$4t^{3}-2t^{2}-3t+1=(t-1)(4t^{2}+2t-1)=0$を得る。

  　

  これを解いて、$t=1,{\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}$。$t=\sin \theta =\sin {\frac {\pi }{10}}$であるので、$0<t<1$、従って、$\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}$

  　

  $\cos {\frac {\pi }{10}}={\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\pi }{10}}}}$ $\left(\because \cos {\frac {\pi }{10}}>0\right)$$={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$

  　

  $\tan {\frac {\pi }{10}}={\frac {\sin {\frac {\pi }{10}}}{\cos {\frac {\pi }{10}}}}={\frac {1}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$ （計算過程・有理化は略）

  　

  　

• ${\frac {2\pi }{5}}(=72^{\circ })$

  　

  余角の公式より、等式:$\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{10}}\right)=\cos {\frac {\pi }{10}},$　$\cos {\frac {2\pi }{5}}=\sin {\frac {\pi }{10}}$が成立する。

  　

  $\therefore \sin {\frac {2\pi }{5}}={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$, 　$\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}$, 　$\tan {\frac {2\pi }{5}}={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

  　

  　

※${\frac {\pi }{10}}(=18^{\circ })$の正弦・余弦の値を元に、${\frac {\pi }{5}}(=36^{\circ }),{\frac {3\pi }{10}}(=54^{\circ })$ の三角比の値を求めることができる（参考参照）。

和積の公式

• $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
• $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
• $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
• $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

積和の公式

• $\sin \alpha \cdot \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right\}$
• $\cos \alpha \cdot \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right\}$
• $\cos \alpha \cdot \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right\}$
• $\sin \alpha \cdot \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left\{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right\}$

三角関数の合成

正弦合成

• $a\sin \theta +b\cos \theta ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(\theta +\alpha )$

ただし、$\cos \alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\sin \alpha ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

余弦合成

• $a\sin \theta +b\cos \theta ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos(\theta -\beta )$

ただし、$\sin \beta ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\cos \beta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

覚え方 位相を $+{\frac {\pi }{2}}$ すると微分になると覚えましょう。$+\pi$ の三角関数も2階微分としてすぐに導出できます。$-{\frac {\pi }{2}}$ の三角関数は積分として覚えられます。また、点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を $\pi$ 回転した点 $(\cos(\theta +\pi ),\sin(\theta +\pi ))$ は原点を中心に点対称移動した点　$(-\cos \theta ,-\sin \theta )$ であることからも、$+\pi$ の三角関数を導出できます。

$-\theta$ の三角関数は、点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を $x$ 軸で線対称移動移動した点が $(\cos(-\theta ),\sin(-\theta ))=(\cos \theta ,-\sin \theta )$ であることから導出できます。

加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。

$\cos$ の倍角の公式 $\cos 2\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$ は $\pm 1\pm 2\mathrm {aaa} ^{2}\theta$ という形を覚えて $\sin$ は符号が $-$、1 の符号はその逆と覚えます。

2乗の三角関数 $\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}},\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$ は、${\frac {1\pm \cos 2\theta }{2}}$ という形を覚えて、 $\sin$ は符号が$-$ と考えます。

正弦合成では、Oを原点とするxy平面上に点P（a, b）をとったときの線分OPの長さがサインの係数、直線OPの傾き${\frac {b}{a}}$が$\tan \alpha$の値 と考えます。

余弦合成では、Oを原点とするxy平面上に点Q（b, a）をとったときの線分OQの長さがコサインの係数、直線OQの傾き${\frac {a}{b}}$が$\tan \beta$の値 と考えます。

指数関数・対数関数

以下、この節内では a, b ,c は実数とする。

指数関数

• $a^{0}=1,a^{1}=a$
• $\displaystyle a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}$
• $a^{b}\div a^{c}=a^{b-c}$
  • $a^{-b}={\frac {1}{a^{b}}}$
• $\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}$
• $\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}$

対数関数

以下、$a>0$ かつ $a\neq 1$とし、また対数の真数として表れるものはすべて正とする。

対数の定義

$a^{b}=c\Leftrightarrow b=\log _{a}c$

• $\log _{a}{1}=0$, $\log _{a}{a}=1$
• $\displaystyle \log _{a}(bc)=\log _{a}b+\log _{a}c$
• $\log _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)=\log _{a}b-\log _{a}c$
• $\displaystyle \log _{a}b^{c}=c\log _{a}b$
• $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$
  • 特に$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$,　$\log _{a}b\cdot \log _{b}a=1$
• $a=b^{\log _{b}a}$