高等学校数学II/三角関数

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ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。

一般角

右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。

半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。

動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。

負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。

弧度法

ラジアン

いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。

半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに

${\begin{aligned}1^{\circ }&={\frac {\pi }{180}}\,\mathrm {rad} \\\\1\,\mathrm {rad} &={\frac {180}{\pi }}^{\circ }\approx 57.3^{\circ }\end{aligned}}$

となる。また弧度法の単位（rad）はしばしば省略される。

弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。（このことは数学IIIで学ぶ）

扇形の弧の長さと面積

扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S は

${\begin{aligned}l&=r\theta ,\\\\S&={\frac {1}{2}}r^{2}\theta ={\frac {1}{2}}rl\end{aligned}}$

と表せる。

三角関数

sin と cos のグラフ

一般角が $\theta$ の半直線と単位円が交わる円を $\mathrm {P}$ とする。このときの $\mathrm {P}$ の座標を$(\cos \theta ,\sin \theta )$ とすることで、関数 $\sin ,\cos$ を定める。また、$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$ とすることで関数 $\tan \theta$ を定める。$\tan \theta$ は一般角が $\theta$ の動径の傾きに等しい。

• $\sin$ はサイン(sine) と発音され、正弦とも呼ばれる。
• $\cos$ コサイン(cosine) と発音され、余弦とも呼ばれる。
• $\tan$ はタンジェント(tangent) と発音され、正接とも呼ばれる。

また、三角関数の累乗は $(\sin \theta )^{n}=\sin ^{n}\theta$ と表記される。

cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に $-{\frac {\pi }{2}}$だけ平行移動したものである。

$y=\sin \theta$ や $y=\cos \theta$ の形をした曲線のことを 正弦曲線 （せいげんきょくせん）という。

関数 $\sin ,\cos$ の値域はどちらも、$[-1,1]$ である。

tan のグラフ

右図のように 、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、 直線OPと 直線x＝1 との交点を T とすると、 Tの座標は

T (1, tan θ)

になる。

このことを利用して、 y＝tan θ のグラフをかくことができる。

y=tan θ のグラフは、下図のようになる。

y=tan θ のグラフでは、θの値が ${\frac {\pi }{2}}$ に近づいていくと、 直線 $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ に限りなく近づいていく。

このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを 漸近線 （ぜんきんせん）という。

同様に考え、次の直線も y＝tanθ の漸近線である。

$\cdots ,\quad \theta =-{\frac {3}{2}}\pi ,\quad \theta =-{\frac {1}{2}}\pi ,\quad \theta ={\frac {1}{2}}\pi ,\quad {\frac {3}{2}}\pi ,\cdots$

は y＝tanθ の漸近線である。

一般に、

直線 $\quad \theta ={\frac {\pi }{2}}+n\pi$ 　　（nは整数）

はy=tanθのグラフの漸近線である。

三角関数の性質

一般角が $\theta$ の動径は一回転しても等しいので、一般角が $\theta +2\pi$ の動径と等しい。これより三角関数の周期性

${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi n)&=\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi n)&=\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi n)&=\tan \theta \end{aligned}}$

を得る。

点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を $\pi$ 回転した点 $(\cos(\theta +\pi ),\sin(\theta +\pi ))$ は原点を中心に点対称移動した点　$(-\cos \theta ,-\sin \theta )$ であることから

${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=\tan \theta \end{aligned}}$

を得る。

点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ を $x$ 軸で線対称移動移動した点が $(\cos(-\theta ),\sin(-\theta ))=(\cos \theta ,-\sin \theta )$ であることから

${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}$

を得る。

• 問題例
  • 問題
• ::${\begin{aligned}&\sin(\theta +{\frac {\pi }{2}})\\&\cos(\theta +{\frac {\pi }{2}})\\&\sin({\frac {\pi }{2}}-\theta )\\&\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )\end{aligned}}$

  を計算せよ。

  • 解答

  角θに対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 θ + 90°に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、

  ${\begin{aligned}x'&=-y\\&=\cos(\theta +{\frac {\pi }{2}})\\&=-\sin \theta \\y'&=x\\&=\sin(\theta +{\frac {\pi }{2}})\\&=\cos \theta \end{aligned}}$

  が得られる。

  同様にして、90°- θ に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、

  ${\begin{aligned}x''&=y\\y''&=x\end{aligned}}$

  となる。よって、

  ${\begin{aligned}\sin({\frac {\pi }{2}}-\theta )&=\cos \theta \\\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )&=\sin \theta \end{aligned}}$

  が得られる。

単位円周上の点 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ から原点までの距離は 1 なので、 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ が成り立つ。

また、この式に、 $\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$ つまり、 $\sin \theta =\tan \theta \cos \theta$ を代入すれば、$1+\tan ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$ が成り立つことがわかる。

周期関数

関数 $f(x)$ に対して、0 でない実数 $p$ が存在して、$f(x+p)=f(x)$ となるとき関数 $f(x)$ は周期関数という。実数 $p$ が上の性質を満たすとき、$-p,2p$ など、実数 $p$ を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 $p$ の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。

$\sin x,\cos x$ は周期を $2\pi$ とする周期関数であり、$\tan x$ は周期を $\pi$ とする周期関数である。

演習問題

$k$ を0でない実数とする。関数 $\sin kx$ の周期を言え

解答

$\sin k\left(x+{\frac {2\pi }{k}}\right)=\sin kx$ なので答えは ${\frac {2\pi }{k}}$ 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。

偶関数と奇関数

関数 $f(x)$ が $f(-x)=f(x)$ を満たすとき、関数 $f(x)$ は偶関数という。偶関数は $y$ 軸に関して対称なグラフになる。

また、関数 $f(x)$ が $f(-x)=-f(x)$ を満たすとき、関数 $f(x)$ は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。

関数 $\cos \theta ,x^{2n}$ ($n$ は整数)は偶関数となる。

関数 $\sin x,x^{2n+1}$ ($n$ は整数)は奇関数となる。

演習問題

$\tan \theta$ は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。

解答

$\tan(-\theta )={\frac {\sin(-\theta )}{\cos(-\theta )}}={\frac {-\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}=-{\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}=-\tan \theta$

なので、 $\tan \theta$ は奇関数である。

いろいろな三角関数

関数 $y=\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)$ のグラフは、$y=\sin \theta$のグラフを θ軸方向に ${\frac {\pi }{3}}$ だけ平行移動させたものになり、周期は $2\pi$ である。（平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は $2\pi$ のままである。）

関数 y＝2sin θ のグラフの形は y＝sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y＝sin θ と同じく 2π である。

ー1 ≦ sin θ ≦ 1　　なので、

値域は　　ー2 ≦ 2sin θ ≦ 2　　である。

関数 y＝sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に ${\frac {1}{2}}$ 倍に縮小したものになっている。

したがって、周期も ${\frac {1}{2}}$ 倍になっており、y=sinθ の周期は $2\pi$ だから、y=sin2θ の周期は $\pi$ である。

加法定理

三角関数の加法定理

${\begin{aligned}\sin(\alpha \pm \beta )&=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha \pm \beta )&=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$

が成り立つ。

証明

任意の実数 $\alpha ,\beta$ に対し、単位円周上の点 $\mathrm {A} (\cos \alpha ,\sin \alpha ),\mathrm {B} (\cos \beta ,\sin \beta )$ をとる。このとき、 線分 $\mathrm {AB}$ の長さの2乗 $\mathrm {AB} ^{2}$ は余弦定理を使うことにより

$\mathrm {AB} ^{2}=2-2\cos(\alpha -\beta )$

である。次に三平方の定理を使って

$\mathrm {AB} ^{2}=(\cos \alpha -\cos \alpha )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$

これを整理して

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

を得る。

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos(-\beta )+\sin \alpha \sin(-\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

である。

以上をまとめて

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

を得る。

ここで、

$\sin(\alpha \pm \beta )=-\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\pm \beta )=-\{\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\cos(\beta )\mp \sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\sin \beta \}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

さらに、$\tan x$ についても

${\textstyle {\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}\\&={\cfrac {{\cfrac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\cfrac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\cfrac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\mp {\cfrac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}\\&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}}$

が成り立つ。

倍角の公式

加法定理を用いて以下が証明できる。

$\sin 2\alpha =\sin(\alpha +\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =\cos(\alpha +\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

次に、 $\cos$ の倍角の公式を変形すると

$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$

$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$

である。

演習問題

1. $\sin 15^{\circ },\cos 15^{\circ }$ を求めよ
2. $\tan ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}$ を示せ

解答

$\sin 15^{\circ }=\sin(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$

$\cos 15^{\circ }=\cos(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

$\tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}$

今までの定理をまとめると、次のようになる。

三角関数の加法定理

${\begin{aligned}\sin(\alpha \pm \beta )&=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha \pm \beta )&=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\\\end{aligned}}$

2倍角の公式

${\begin{aligned}\sin 2\alpha &=2\sin \alpha \cos \alpha \\\cos 2\alpha &=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1\\\tan 2\alpha &={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}\end{aligned}}$

三角関数の2乗

${\begin{aligned}\sin ^{2}\alpha &={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}\\\cos ^{2}\alpha &={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}\\\tan ^{2}\alpha &={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}\end{aligned}}$

覚え方

加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。

$\cos$ の倍角の公式 $\cos 2\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$ は $\pm 1\mp 2\mathrm {aaa} ^{2}\theta$ という形を覚えて $\sin$ は符号が $-$、1 の符号はその逆と覚えます。

2乗の三角関数 $\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}},\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$ は、${\frac {1\pm \cos 2\theta }{2}}$ という形を覚えて、 $\sin$ は符号が$-$ と考えます。

三角関数の合成

三角関数の和

$a\sin \theta +b\cos \theta$

において、$a,b\neq 0$ のとき

$\left\{{\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}+\left\{{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}=1$ であるので、点 $\left({\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)$ は単位円周上の点なので、

${\begin{cases}\cos \alpha ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \alpha ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{cases}}$

となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。

${\begin{aligned}a\sin \theta +b\cos \theta &={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin \theta +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos \theta \right)\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \right)\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(\theta +\alpha \right)\\\end{aligned}}$

演習問題

$r,\alpha$ は $r>0,-\pi \leq \alpha <\pi$ を満たすとする。

1. $\sin \theta -{\sqrt {3}}\cos \theta$ を $r\sin \left(\theta +\alpha \right)$ の形に変形せよ。
2. $2\cos \theta -2\sin \theta$ を $r\cos(\theta +\alpha )$ の形に変形せよ。

解答

1. $r={\sqrt {1^{2}+\left(-{\sqrt {3}}\right)^{2}}}=2$ より

${\begin{aligned}\sin \theta -{\sqrt {3}}\cos \theta &=2\left({\frac {1}{2}}\sin \theta -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta \right)\\&=2\left(\sin \theta \cos {\frac {\pi }{3}}-\cos \theta \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&=2\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)\\\end{aligned}}$

1. $2\cos \theta -2\sin \theta =2{\sqrt {2}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\cos \theta -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin \theta \right)$ ここで、$r\cos(\theta +\alpha )=r(\cos \theta \cos \alpha -\sin \theta \sin \alpha )$ である。 $\cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {2}}},\sin \alpha ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ となる $\alpha$ として $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$ がある。したがって、$2\cos \theta -2\sin \theta =2{\sqrt {2}}\cos \left(\theta +{\frac {\pi }{4}}\right)$

和から積への公式と積から和への公式

三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ

積→和の公式

${\begin{aligned}\sin \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\}\\\cos \alpha \sin \beta &={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\}\\\cos \alpha \cos \beta &={\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\}\\\sin \alpha \sin \beta &=-{\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\}\end{aligned}}$

和→積の公式

${\begin{aligned}\sin A+\sin B&=2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\sin A-\sin B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A+\cos B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A-\cos B&=-2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\end{aligned}}$

となる。

導出

加法定理

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

(1)

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

(2)

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

(3)

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

(4)

から、 (1) + (2) より

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}(\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ))$

(1) - (2) より

$\cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}(\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )$

(3) + (4) より

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ))$

(3) - (4) より

$\sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}(\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ))$

が得られる。

$A=\alpha +\beta ,\,B=\alpha -\beta$ とおくと、 $\alpha ={\frac {A+B}{2}},\,\beta ={\frac {A-B}{2}}$ である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ

${\begin{aligned}\sin A+\sin B&=2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\sin A-\sin B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A+\cos B&=2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A-\cos B&=-2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)\end{aligned}}$

が得られる。

覚え方

積→和の公式は、上2つは $\alpha$ と $\beta$ を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。$\sin \sin$ の公式は $\cos \cos$ の公式の符号を2つ $-$ にしたものになっている。

和→積の公式は、${\rm {{aaa}-{\rm {aaa}}}}$ の式は ${\rm {{aaa}+{\rm {aaa}}}}$ の公式の $\cos$ と $\sin$ を逆にした形になっている。

三角関数の基本公式

• 周期性（n　は整数）

${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi n)&=\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi n)&=\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi n)&=\tan \theta \end{aligned}}$

• 偶関数、奇関数

${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}$

• $\theta +\pi$

${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=\tan \theta \end{aligned}}$

• $\pi -\theta$

${\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}$

• $\theta +{\frac {1}{2}}\pi$

${\begin{aligned}\sin \left(\theta +{\frac {1}{2}}\pi \right)&=\cos \theta \\\cos \left(\theta +{\frac {1}{2}}\pi \right)&=-\sin \theta \\\tan \left(\theta +{\frac {1}{2}}\pi \right)&=-{\frac {1}{\tan \theta }}\end{aligned}}$

• ${\frac {\pi }{2}}-\theta$

${\begin{aligned}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&=\cos \theta \\\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&=\sin \theta \\\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&={\frac {1}{\tan \theta }}\end{aligned}}$

• 問題例
  • 問題

  (i) $\sin {\frac {10}{3}}\pi$

  (ii) $\cos \left(-{\frac {11}{4}}\pi \right)$

  (iii) $\tan {\frac {31}{6}}\pi$

  の値を求めよ。

  • 解答

  (i)

  ${\begin{aligned}\sin {\frac {10}{3}}\pi &=\sin \left({\frac {4}{3}}\pi +2\pi \right)=\sin {\frac {4}{3}}\pi \\&=\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\pi \right)=-\sin {\frac {\pi }{3}}\\&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}$

  (ii)

  ${\begin{aligned}\cos \left(-{\frac {11}{4}}\pi \right)&=\cos {\frac {11}{4}}\pi =\cos \left({\frac {3}{4}}\pi +2\pi \right)\\&=\cos {\frac {3}{4}}\pi =\cos \left(\pi -{\frac {\pi }{4}}\right)\\&=-\cos {\frac {\pi }{4}}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}$

  (iii)

  ${\begin{aligned}\tan {\frac {31}{6}}\pi &=\tan \left({\frac {7}{6}}\pi +2\pi \times 2\right)=\tan {\frac {7}{6}}\pi \\&=\tan \left({\frac {\pi }{6}}+\pi \right)=\tan {\frac {\pi }{6}}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{aligned}}$

楽器の音と三角関数

音も波の一種なので、三角関数で表現できる。 オシロスコープで おんさ の音を測定すると、正弦波に近い波形が観測される。 しかし、実際の楽器の音は、正弦波とは違う。オシロスコープでギターやバイオリンなどの楽器の音を測定すると、正弦波でない波形が繰り返されている。 これら実際の楽器の音の波形は、周期の異なる複数個の正弦波を重ね合わせた波形になっている。 大学などで習うフーリエ解析で、このような正弦波でない波形の解析について詳しく習う。三角関数以外の周期的な関数を、三角関数を介して表現する手法が知られている。

数学者レオンハルト・オイラー

レオンハルト・オイラー(Leonhard Euler 1707年4月15日 - 1783年9月18日) ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい) 複素数に拡張した指数関数、三角関数では $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ という関係式が成り立つ。ただし、$e$ はネイピア数で $e\approx 2.7$ である。ここで、 $\theta$ に $\pi$ を代入すると $e^{i\pi }+1=0$となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。

演習問題

(1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ

1)$150$ 2)$720$

(2)$\sin \pi /2$の値を求めよ