平面

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2点間の関係

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2点A , B において、

  • 距離: 
  •  に内分する点 : 
  •   に外分する点 : 

関数のグラフの移動

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平行移動

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  •  の表すグラフを x軸方向にay軸方向にb移動したときのグラフを表す式:
     

対称移動

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  •  の表すグラフを x軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
     
  •  の表すグラフを y軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
     
  •  の表すグラフを原点に関して対称移動したときのグラフを表す式:
     
  •  の表すグラフを  に関して対称移動したときのグラフを表す式:
     
     の逆関数を と表す場合、 

直線

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  • 2点  ,   を通る直線の式:
     
    • 2点  切片 ,  切片 (但し、ab≠0とする)を通る直線の式:
       
  •   を通り、傾き   の直線の式:
     
    • 傾き   を方向ベクトル と捉えると:
       
  •    と直線 の距離 :
      =  

平均変化率

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  • xaからbまで変化させたときの関数 の変化の割合(平均変化率):
     

接線の方程式

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  • 関数 のグラフ上の点 における接線:
     

二次曲線

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  • 原点 を中心とする、半径rの円 の方程式(標準形):
     
    • 上記円 を、 移動させた、半径rの円 の方程式
       , 中心座標 
  • 円の方程式の一般形
      ただし、 
  •  について一般角 を用いた媒介変数表示
    •  
    •  
       について一般角 を用いた媒介変数表示
      •  
      •  
  •  上の点  における接線:
     

楕円

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  • 楕円の標準形:    
    上記楕円の、 軸、 軸との交点を、 とすると、
      の長い方を長軸、短い方を短軸という。長軸と短軸を合わせて主軸という
     は、 で垂直に交わる。点 を楕円の中心、点 を楕円の頂点という。中心を通る弦を直径という。
    直径:  
    • 上記楕円の一般角 を用いた媒介変数表示
      •  
      •  
 
楕円と焦点
  • 2定点 までの距離の和: が一定値: である点 の軌跡は以下の式となる(なお、 )。
     
    これは、  を長軸、 を短軸とする楕円である。
    この時、 を楕円の焦点という。
    2焦点を通る直径を長軸、2焦点の垂直二等分線である直径を短軸と定義できる。
    標準形:  の焦点:
    •  ならば、 
    •  ならば、 
  • 楕円: 上の点 における接線:
     

放物線

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  • グラフが点   を頂点とし,2次の項の係数が   である二次関数の式:
     
  • グラフが点   を頂点とし,点   を通る二次関数の式:
     
  • 二次関数 のグラフの頂点:
     
  • グラフが2点  ,   を通り,2次の項の係数が   である二次関数の式:
     
  • グラフが3点  ,  ,   を通る二次関数の式:
     
 
準線 L と焦点 F
  •  について、定点  を通らない直線 上の点で と距離をなす に関して、 であるときの点 の軌跡は放物線となる。この時、定点 焦点、直線 準線という。
     : 、焦点を : 、準線の式を   とすると より
     
     
     
     
  •  の焦点 : 、準線: 
  • 放物線: 上の点 における接線:
     

双曲線

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双曲線
  • 双曲線の標準形:   軸対称、右図青色で示されるもの)
    上記双曲線の漸近線: 
    特に、a=bである時、この2つの漸近線は直行し、この双曲線を特に直角双曲線という。
    直角双曲線: について 回転させると、
     ,  
     ,  
     、即ち、 となり、反比例のグラフとなることがわかる。
  • 双曲線: 上の点 における接線:
     
  • 一般角 を用いた媒介変数表示
    •  
    •  
 
双曲線と焦点
  • 2定点 までの距離の差: が一定値: である点 の軌跡は以下の式となる。
     
     において、 なので、 。従って、 であり、 と置くことができ、この軌跡は、双曲線であることがわかる。
    この時、 を双曲線の焦点といい、焦点を結ぶ直線を主軸(上記の場合、 軸: )という。
    双曲線と主軸の交点を求めると、 、交点は となり、これらを、双曲線の頂点、頂点の中点を双曲線の中心という。
    • 標準形:  の焦点:
       

その他の図形

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  • 原点O・点 ・点 を結んでできる三角形OABの面積S:
     
    ただし はそれぞれ直線ABx切片・y切片。
    または   (サラスの公式)
  • 2次関数( )上の3点   を結んで出来る三角形ABCの面積S:
      ,   ,  とすると、
     

三次元空間

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  • 2点A , B 間の距離:
     

直線の式

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  •   を通り、方向ベクトルが である直線の式:
     
    • 2点  ,   を通る直線の式:
       

平面の式

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  • 一般式
     
    なお、 である時、 と表せる。
    また、 ならば、 であり、原点 を含む平面となる。
    •   を通り、法線ベクトルが である平面の式:
       
    • 3点  切片 ,  切片 ,  切片 (ただし とする)を通る平面の式:
       
    • 同一直線上にない3点  ,  ,   を通る平面の式:
       
      ただし、
       
       
       
       
      ※通常は、  .or.   に代入して、三元一次方程式を解く。その結果をクラメルの公式を用いて表したのが上記。


  •    と平面 の距離 :
      =  


  • 平面と直線との交点
    • 平面  と直線  との交点。
      (解法)
      直線上の点をパラメータ で表すと 
      これを、平面の式に代入し、 について解くと、  =   が得られる。これを、直線の式に代入し交点を求める(代入の結果は割愛)。
      • なお、  かつ   ならば、平面 と直線 は交点を有さない。
        • この時の平面 と直線 との距離は、
           
      • また、  かつ   ならば、直線 は平面 上にある。
      •  は、平面 の法線ベクトル と直線 の方向ベクトル との内積であり、この値が であるということは、これらが直行していることを意味し、直線が平面と交わらないか、平面上にあることとなる。


  • 2平面の交差
    • 平面  と平面 とが交わる時、二面角 (ただし、 )とすると、以下の式が成立する。
       


  • 2平面の交線
    • 平面  と平面 とが交線として直線 を有するとき、以下の関係が成立。
      1. 平面1及び平面2が交線を有する条件: 平面が一致ないし平行ではない。
        したがって、平面  と平面 の各々の法線ベクトル: ,  について、  ( )
        • 二面角を として、 
      2. 直線 の方向ベクトル: は、法線ベクトル: ,  と直行する。
        そのような、ベクトル: の一つとして、各々の成分が以下のものが存在する。
         
         
         
      3. 直線 上の点 は、以下の等式を満たす。
         
         
        •  と置くなどして方程式を解き、 を一意に決めることができる。
      4. 上記2. 3.により直線 の式を得ることができる。

球面の式

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  • 中心座標 、半径rの球の方程式(標準形):
     
  • 球面: 上の点 で接する平面