初等数学公式集/解析幾何

平面

2点間の関係

2点A$(a_{1},b_{1})$, B$(a_{2},b_{2})$において、

• 距離:$AB={\sqrt {(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}}}$
• $m:n$に内分する点$P$:$\left({\frac {ma_{2}+na_{1}}{m+n}},{\frac {mb_{2}+nb_{1}}{m+n}}\right)$
• $m:n$$(m\neq n)$に外分する点$Q$:$\left({\frac {ma_{2}-na_{1}}{m-n}},{\frac {mb_{2}-nb_{1}}{m-n}}\right)$

関数のグラフの移動

平行移動

• $y=f(x)$の表すグラフを x軸方向にa、 y軸方向にb移動したときのグラフを表す式：

  $y-b=f(x-a)$

対称移動

• $y=f(x)$の表すグラフを x軸に関して対称移動したときのグラフを表す式：

  $y=-f(x)$

• $y=f(x)$の表すグラフを y軸に関して対称移動したときのグラフを表す式：

  $y=f(-x)$

• $y=f(x)$の表すグラフを原点に関して対称移動したときのグラフを表す式：

  $y=-f(-x)$

• $y=f(x)$の表すグラフを$y=x$ に関して対称移動したときのグラフを表す式：

  $x=f(y)$

  $f(x)$の逆関数を$f^{-1}(x)$と表す場合、$y=f^{-1}(x)$

直線

• 2点 $(a_{1},b_{1})$, $(a_{2},b_{2})$ を通る直線の式：

  $y={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}(x-a_{1})+b_{1}$

  • 2点 $x$切片$(a,0)$, $y$切片$(0,b)$（但し、ab≠0とする）を通る直線の式：

    ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

• 点 $(x_{0},y_{0})$ を通り、傾き $c$ の直線の式：

  $y-y_{0}=c(x-x_{0})$

  • 傾き $c$ を方向ベクトル$(a,b)$と捉えると：

    ${\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}$

• 点$P$ $(x_{0},y_{0})$と直線$ax+by+c=0$の距離$l$:

  $l$　= ${\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

平均変化率

• xをaからbまで変化させたときの関数$f(x)$の変化の割合（平均変化率）:

  ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

接線の方程式

• 関数$f(x)$のグラフ上の点$(x_{1},y_{1})$における接線:

  $y-y_{1}=f^{\prime }(x)(x-x_{1})$

二次曲線

円

• 原点$\displaystyle (0,0)$を中心とする、半径rの円$O$の方程式（標準形）：

  $O:\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$

  • 上記円$O$を、$\displaystyle (a,b)$移動させた、半径rの円$O_{1}$の方程式

    $O_{1}:\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$, 中心座標$\displaystyle (a,b)$

• 円の方程式の一般形

  $\displaystyle x^{2}+y^{2}+hx+ky+c=0$　ただし、$h^{2}+k^{2}-4c>0$。

• 円$O$について一般角$\theta$を用いた媒介変数表示
  • $x=r\cos \theta$
  • $y=r\sin \theta$

    円$O_{1}$について一般角$\theta$を用いた媒介変数表示

    • $x=r\cos \theta +a$
    • $y=r\sin \theta +b$

• 円$O:\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$上の点$P$$\displaystyle (x_{1},y_{1})$における接線：

  $\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$（参考）

楕円

• 楕円の標準形: $\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ $(a\neq b)$

  上記楕円の、$x$軸、$y$軸との交点を、$A,A',B,B'$とすると、

  $A:(a,0),A':(-a,0),B:(0,b),B':(0,-b)$、$AA',BB'$の長い方を長軸、短い方を短軸という。長軸と短軸を合わせて主軸という

  $AA',BB'$は、$O:(0,0)$で垂直に交わる。点$O$を楕円の中心、点$A,A',B,B'$を楕円の頂点という。中心を通る弦を直径という。

  直径:$d=2{\sqrt {b^{2}+\left(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}}}$$=2{\sqrt {a^{2}+\left(1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)y^{2}}}$

  • 上記楕円の一般角$\theta$を用いた媒介変数表示
    • $x=a\cos \theta$
    • $y=b\sin \theta$

楕円と焦点

• 2定点$F:(k,0),F':(-k,0)$${\displaystyle }$までの距離の和:$FP+F'P$が一定値:$2a$である点$P$の軌跡は以下の式となる（なお、$0<k<a$）。

  $\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-k^{2}}}=1$

  これは、$A:(a,0),A':(-a,0),B:(0,{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}),B':(0,-{\sqrt {a^{2}-k^{2}}})$、$AA'$を長軸、$BB'$を短軸とする楕円である。

  この時、$F:(k,0),F':(-k,0)$を楕円の焦点という。

  2焦点を通る直径を長軸、2焦点の垂直二等分線である直径を短軸と定義できる。

  標準形: $\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$の焦点:

  • $a>b$ならば、$F:({\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0),F':(-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0)$
  • $a<b$ならば、$F:(0,{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}),F':(0,-{\sqrt {b^{2}-a^{2}}})$

• 楕円:${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$上の点$(x_{1},y_{1})$における接線:

  ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$（参考）

放物線

• グラフが点 $(p,q)$ を頂点とし，2次の項の係数が $a$ である二次関数の式：

  $y=a(x-p)^{2}+q$

• グラフが点 $(p,q)$ を頂点とし，点 $(a,b)$ を通る二次関数の式：

  $y={\frac {b-q}{(a-p)^{2}}}(x-p)^{2}+q$

• 二次関数$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの頂点：

  $\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)$

• グラフが2点 $(a_{1},b_{1})$, $(a_{2},b_{2})$ を通り，2次の項の係数が $c$ である二次関数の式：

  $y=c(x-a_{1})(x-a_{2})+{\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}(x-a_{1})+b_{1}$

• グラフが3点 $(a_{1},b_{1})$, $(a_{2},b_{2})$, $(a_{3},b_{3})$ を通る二次関数の式：

  $y=b_{1}{\frac {(x-a_{2})(x-a_{3})}{(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})}}+b_{2}{\frac {(x-a_{3})(x-a_{1})}{(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{1})}}+b_{3}{\frac {(x-a_{1})(x-a_{2})}{(a_{3}-a_{1})(a_{3}-a_{2})}}$

準線 L と焦点 F

• 点$P$について、定点$F$と$F$を通らない直線$L$上の点で$P$と距離をなす$Q$に関して、$FP=PQ$であるときの点$P$の軌跡は放物線となる。この時、定点$F$を焦点、直線$L$を準線という。

  $P$:$(x,y)$、焦点を$F$:$(0,a)$、準線の式を $y=-a$ とすると$FP=PQ$より

  ${\sqrt {x^{2}+(a-y)^{2}}}=y+a$

  $x^{2}+a^{2}-2ay+y^{2}=y^{2}+2ay+a^{2}$

  $x^{2}=4ay$

  $y={\frac {x^{2}}{4a}}$

• $y=ax^{2}$の焦点$F$:$\left(0,{\frac {1}{4a}}\right)$、準線:$y=-{\frac {1}{4a}}$
• 放物線:$y^{2}=4px$上の点$(x_{1},y_{1})$における接線:

  $y_{1}y=2p(x+x_{1})$

双曲線

双曲線

• 双曲線の標準形: $\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$（$x$軸対称、右図青色で示されるもの）

  上記双曲線の漸近線:${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0\ ,\ {\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0$

  特に、a=bである時、この2つの漸近線は直行し、この双曲線を特に直角双曲線という。

  直角双曲線:$\displaystyle x^{2}-y^{2}=a^{2}$について${\frac {\pi }{4}}$回転させると、

  $X=x\cos {\frac {\pi }{4}}-y\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x-y)$, $Y=x\sin {\frac {\pi }{4}}+y\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x+y)$

  $x-y=X{\sqrt {2}}$, $x+y=Y{\sqrt {2}}$

  $\therefore XY={\frac {a^{2}}{2}}$、即ち、$Y={\frac {a^{2}}{2X}}$となり、反比例のグラフとなることがわかる。

• 双曲線:${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$上の点$(x_{1},y_{1})$における接線:

  ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$

• 一般角$\theta$を用いた媒介変数表示
  • $x={\frac {a}{\cos \theta }}$
  • $y=b\tan \theta$

双曲線と焦点

• 2定点$F_{1}:(k,0),F_{2}:(-k,0)$までの距離の差:$|F_{1}P-F_{2}P|$が一定値:$2a$である点$P$の軌跡は以下の式となる。

  $\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{k^{2}-a^{2}}}=1$

  $\triangle {PF_{1}F_{2}}$において、$|F_{1}P-F_{2}P|<F_{1}F_{2}$なので、$a<k$。従って、$k^{2}-a^{2}>0$であり、$k^{2}-a^{2}=b^{2}$と置くことができ、この軌跡は、双曲線であることがわかる。

  この時、$F_{1}:(k,0),F_{2}:(-k,0)$を双曲線の焦点といい、焦点を結ぶ直線を主軸（上記の場合、$x$軸:$y=0$）という。

  双曲線と主軸の交点を求めると、$y=0,x=\pm a$、交点は$V_{1}:(a,0),V_{2}:(-a,0)$となり、これらを、双曲線の頂点、頂点の中点を双曲線の中心という。

  • 標準形: $\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$の焦点:

    $F:({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),F':(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)$

その他の図形

• 原点O・点$A(x_{a},y_{a})$・点$B(x_{b},y_{b})$を結んでできる三角形OABの面積S:

  $S={\frac {1}{2}}\left|y_{0}\right|\left|x_{a}-x_{b}\right|={\frac {1}{2}}\left|x_{0}\right|\left|y_{a}-y_{b}\right|$

  ただし$x_{0},y_{0}$はそれぞれ直線ABのx切片・y切片。

  または $S={\frac {\left|x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a}\right|}{2}}$ （サラスの公式）

• 2次関数($y=ax^{2}$)上の3点$A(x_{a},y_{a})$・$B(x_{b},y_{b})$・$C(x_{c},y_{c})$を結んで出来る三角形ABCの面積S:

  $x_{a}-x_{b}=l$ , $x_{b}-x_{c}=m$ , $x_{c}-x_{a}=n$とすると、

  $S={\frac {|almn|}{2}}$

三次元空間

• 2点A$(a_{1},b_{1},c_{1})$, B$(a_{2},b_{2},c_{2})$間の距離：

  $AB={\sqrt {(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}+(c_{2}-c_{1})^{2}}}$

直線の式

• 点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ を通り、方向ベクトルが$(a,b,c)$である直線の式：

  ${\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}={\frac {z-z_{0}}{c}}$

  • 2点 $(a_{1},b_{1},c_{1})$, $(a_{2},b_{2},c_{2})$ を通る直線の式：

    ${\frac {x-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}={\frac {y-b_{1}}{b_{2}-b_{1}}}={\frac {z-c_{1}}{c_{2}-c_{1}}}$

平面の式

• 一般式

  $ax+by+cz+d=0$

  なお、$d\neq {0}$である時、$ax+by+cz=1$と表せる。

  また、$d=0$ならば、$ax+by+cz=0$であり、原点$O(0,0,0)$を含む平面となる。

  • 点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ を通り、法線ベクトルが$(a,b,c)$である平面の式：

    $a({x-x_{0}})+b({y-y_{0}})+c({z-z_{0}})=0$

  • 3点 $x$切片$(a,0,0)$, $y$切片$(0,b,0)$, $z$切片$(0,0,c)$（ただし$abc\neq {0}$とする）を通る平面の式：

    ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1$

  • 同一直線上にない3点 $(x_{1},y_{1},z_{1})$, $(x_{2},y_{2},z_{2})$, $(x_{3},y_{3},z_{3})$ を通る平面の式：

    $ax+by+cz=\Delta$

    ただし、

    $a=y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}-y_{1}z_{3}+y_{3}z_{1}+y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}$

    $b=-x_{2}z_{3}+x_{3}z_{2}+x_{1}z_{3}-x_{3}z_{1}-x_{1}z_{2}+x_{2}z_{1}$

    $c=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$

    $\Delta =x_{1}y_{2}z_{3}+x_{2}y_{3}z_{1}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{1}y_{3}z_{2}-x_{2}y_{1}z_{3}-x_{3}y_{2}z_{1}$

    ※通常は、$ax+by+cz=1$　.or.　$0$ に代入して、三元一次方程式を解く。その結果をクラメルの公式を用いて表したのが上記。

• 点$P$ $(p,q,r)$と平面$ax+by+cz+d=0$の距離$l$:

  $l$　= ${\frac {\left|ap+bq+cr+d\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

• 平面と直線との交点
  • 平面$\Pi :ax+by+cz+d=0$　と直線$l:{\frac {x-x_{0}}{p}}={\frac {y-y_{0}}{q}}={\frac {z-z_{0}}{r}}$　との交点。

    （解法）

    直線上の点をパラメータ$t$で表すと$(pt+x_{0},qt+y_{0},rt+z_{0})$

    これを、平面の式に代入し、$t$について解くと、$t$　= $-{\frac {ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d}{ap+bq+cr}}$ が得られる。これを、直線の式に代入し交点を求める（代入の結果は割愛）。

    • なお、$ap+bq+cr=0$　かつ $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\neq {0}$ ならば、平面$\Pi$と直線$l$は交点を有さない。
      • この時の平面$\Pi$と直線$l$との距離は、

        ${\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

    • また、$ap+bq+cr=0$　かつ $ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d=0$ ならば、直線$l$は平面$\Pi$上にある。

    • $ap+bq+cr$は、平面$\Pi$の法線ベクトル$(a,b,c)$と直線$l$の方向ベクトル$(p,q,r)$との内積であり、この値が$0$であるということは、これらが直行していることを意味し、直線が平面と交わらないか、平面上にあることとなる。

• 2平面の交差
  • 平面$\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$　と平面$\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$とが交わる時、二面角を$\varphi$(ただし、$0\leq \varphi \leq \pi /2.$)とすると、以下の式が成立する。

    $\cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}$

• 2平面の交線
  • 平面$\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$　と平面$\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$とが交線として直線$l:{\frac {x-x_{0}}{p}}={\frac {y-y_{0}}{q}}={\frac {z-z_{0}}{r}}$を有するとき、以下の関係が成立。
    1. 平面1及び平面2が交線を有する条件: 平面が一致ないし平行ではない。

       したがって、平面$\Pi _{1}$　と平面$\Pi _{2}$の各々の法線ベクトル:${\vec {n_{1}}}$, ${\vec {n_{2}}}$について、${\vec {n_{1}}}\neq {k{\vec {n_{2}}}}$ ($k\neq {0}$)

       • 二面角を$\varphi$として、$\cos \varphi \neq {1}$。

    2. 直線$l$の方向ベクトル:${\vec {m}}=(p,q,r)$は、法線ベクトル:${\vec {n_{1}}}=(a_{1},b_{1},c_{1})$, ${\vec {n_{2}}}=(a_{2},b_{2},c_{2})$と直行する。

       そのような、ベクトル:${\vec {m}}$の一つとして、各々の成分が以下のものが存在する。

       $p=b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}$

       $q=-a_{1}c_{2}+a_{2}c_{1}$

       $r=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

    3. 直線$l$上の点$(x_{0},y_{0},z_{0})$は、以下の等式を満たす。

       $a_{1}x_{0}+b_{1}y_{0}+c_{1}z_{0}+d_{1}=0$

       $a_{2}x_{0}+b_{2}y_{0}+c_{2}z_{0}+d_{2}=0$

       • $z_{0}=0$と置くなどして方程式を解き、$(x_{0},y_{0},z_{0})$を一意に決めることができる。

    4. 上記2. 3.により直線$l:{\frac {x-x_{0}}{p}}={\frac {y-y_{0}}{q}}={\frac {z-z_{0}}{r}}$の式を得ることができる。

球面の式

• 中心座標$\displaystyle (a,b,c)$、半径rの球の方程式（標準形）：

  $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$

• 球面:$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$上の点$(x_{0},y_{0},z_{0})$で接する平面

  $({a-x_{0}})({x-x_{0}})+({b-y_{0}})({y-y_{0}})+({c-z_{0}})({z-z_{0}})=0$