多項式

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展開公式

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解説はこちらのページをご覧ください

  • 基本公式
    •  
    •  
    •  
    •  
  • 累乗二項定理
     
    パスカルの三角形
    •  
    •  
    •  
    •  
    •   
      記号: は「組合せ(参照)」、記号: は「総和(シグマ 参照)」を表す。
      • 特に、 とすると、
          
  • 応用
    2変数
    •  
    •  
    •  ,  の一般的な形
      •  
         
      •  
        •  が奇数である時、
           
        • (参考)  が4の倍数である時( とおいて)、
           
    •  
    3変数
    •  
    •  
    •  
    •  の展開式の一般項(多項定理):
      •   (ただし、 )
    •  
    •  
    4変数
    •  
    •  

式の変形

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  •   ※1
  •   ※1
  •   ※1
  •   ※1
  •   ※2
  •   ※1
    •   ※1
  •  ※1
  •  ブラーマグプタの二平方恒等式
  • ラグランジュの恒等式
    •  
    •  

対称式・交代式

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ウィキペディア対称式の記事があります。
 
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ウィキペディア交代式の記事があります。
  • 対称式とは、どの変数を入れ替えても、値が変わらない式、交代式とはいずれか2個の変数を入れ替えると、元の式の−1倍となる式をいう。
    (上記の変形式で※1は対称式であり、※2は交代式である。)
    • 変数が2個の場合、対称式は と表され、交代式は と表される。
    • 変数が3個の場合、
      • 対称式は 
      • 交代式は 
      となる。なお、3変数を全て入れ替えた場合 が成立している。
    • 変数が4個以上にも一般化できるが、初等数学では取り扱わない。また、3変数の場合も参考の位置付けとしてのみ取り扱う。
対称式の性質
  • 2変数の対称式は、2変数の和: 、積: を組み合わせることにより表される。 ,  を基本対称式という。
    3変数の基本対称式は、 ,  ,  であり、この性質を有する。
    (例)  
  • 公式
    •  
       
      基本対称式を ,   と表現すると、
       と表されることとなり、 ,  が与えられていれば、隣接三項間漸化式を解く問題に帰結される。
      数列未履修であっても出題される形式であるが、一般に次数が小さいものの値を求める問題となるため、次数の低いものから順に求めることが可能である。一般式ではなく、極端に次数が大きい場合は、循環性に着目した問題である場合が多い(交代式の例題①参照)。
    応用問題
     (定数)であるとき、 の値を求めよ。
     
    (解法)
     とおくと、与式は の形となる、ここで、 ,  であるので、
     とおいた漸化式; を解く問題に帰結する。
交代式の性質
  • 2変数の交代式は、2変数の差: を因数に持ち、 で割った商は対称式である。
    3変数の交代式は、 を因数に持ち、 で割った商は対称式である。
  • 変数が同一である、2つの交代式(  等)の積は対称式となる。

多項式の除法

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ウィキペディア除法の原理の記事があります。

多項式における除法の原理

多項式 を、それより次数の少ない多項式 で割るとき、次式を満たす多項式  ,  が一意に存在する。
 
 
 
このときの   剰余と呼ぶ。なお、 を除数、除式または除多項式、 を被除数、被除式または被除多項式ともいう。
除式  次式であるとき、 は、高々  次式である。

剰余の定理と因数定理

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ウィキペディア剰余の定理の記事があります。
 
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多項式    で割った余りは   である。(剰余の定理

  除法の原理より、 であり、除多項式 は1次式なので、 は定数  とすると、 

とくに   のとき、多項式    を因数に持つ。(因数定理

上の式で、 となる場合である。
 
剰余定理の応用
  1. 除多項式が2次式の場合
       で割った余りが  ( )、  で割った余りが  ( )であるとき(ただし、 )、   で割った余り ;
     
     
     
    (解法) とおき、 ,  を剰余式の係数 について解く。
     
    •  を2次式  で割った余り ;
       の実数解が ( )であるとき、
       
       
     
    •  を2次式  で割った余り ;
       
       
       
      なお、   で割り切れる必要十分条件は、 
       
      (解法)
       とおくと、 となり、
       を代入すると、 ,  を得るので、これらを剰余式の係数 について解く。
       
  2. 除多項式が3次式の場合
    2次式における解法を拡張する。3元一次方程式の公式等は省略する。
       で割った余りが  ( )、  で割った余りが  ( )、  で割った余りが  ( )であるとき(ただし、 は各々異なるものとする)、   で割った余り ;
     
    (解法)
     とおき、 ,  ,  を剰余式の係数 について解く。
     
    •  を3次式  で割った余り ;
       の実数解が ( は、互いに異なる)であるとき、 に関して を代入しできた連立方程式; ,  ,  を解いて、剰余式の係数 を求める。
      (コメント)
      大学入試等に出題される場合、 は基本的に因数分解により解は簡単に求められ( であることが多い)、また、  などであって簡単に求められるよう設定されている。除多項式が簡単に因数分解できない場合などは、この方法での解答は求められていない。
     
    •  を3次式  で割った余り ;
       
       
       
      なお、   で割り切れる必要十分条件は、 
       
      (解法)
       とおくと、
       
       となり、
       を代入すると、 ,  ,  を得るので、これらを剰余式の係数 について解く。

特殊な剰余の計算

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上記で見られるように、除多項式が 次であれば、剰余式は(高々) 次であり、剰余式を求める計算において、各項の係数と定数を合わせた未知数は 個ともなる。 個の未知数を求めるには、 個の方程式( 元1次方程式)を解くことになるが、初等数学(高校までの数学)においては、4元以上の連立方程式を解く問題が出題されることはごく稀なので(未知数を1個ずつ減らすプロセスなので、無理な出題ではないが、労力の割に教育的意義は低い)、除多項式が3次以上のものが出題された場合、解法には上記の剰余定理以外を用いると考えた方がいい。

例.   次式 (ただし、 )で割った剰余。例題・特殊な剰余計算参照)
(解法)
 にある関数 をかけると、  (  は定数、 は、 で、  [ ]とする)と変形できる場合がある。
これを、 と変形し、 に代入。
 
二項定理より、
 
したがって、  で割った剰余は、 となる。

方程式

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解の公式

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  • 1次方程式   の解の公式:
     
 
  • 2次方程式   の解の公式:
     
    •   の場合:
       
    •   (  において  ) の場合 :
       
    ※上記の3つの公式の根号の中の式は、各方程式の判別式Dとなる。

2元1次方程式

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 (但し、 
の解、
 
  
行列を用いた表現
 
右から、逆行列をかけると、
 

解と係数の関係

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  • 2次方程式  の2つの解を とすると:
     
    であり、この は次の関係式を満たす。
     
     
    •   (  において  ) の2つの解を とすると:
       
      であり、この は次の関係式を満たす。
      零点の和 :  
      零点の積 :  
 
  • 3次方程式  の3つの解を とすると:
     
    であり、この は次の関係式を満たす。
     
     
     
  • 2次方程式及び3次方程式においては、方程式の係数から、方程式の解を要素とする基本対称式の値を得ることができる。

方程式の解の存在条件

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  •  次方程式の解の個数は、高々 個である。
     が奇数である時、少なくとも1個の実数解を有する。
  • 2次方程式  に関して、
     (判別式)とする時、
    1.  この2次方程式は2個の異なる実数解を持つ。
    2.  この2次方程式は1個の実数解(重解/重根)を持つ。
    3.  この2次方程式は2個の異なる虚数解を持つ(実数解を持たない)。
  • 3次方程式  ( )に関して、
    1. 実数解を として、 と因数分解できる場合
       (判別式)として、
      1.  この3次方程式は1個の実数解 と2個の異なる虚数解を持つ(有する実数解は1個である)。
      2.  である時、
        1. かつ、 この3次方程式は実数解 (重解/重根)のみを持つ。
        2. かつ、  但し、  この3次方程式は  (重解/重根)の2個の異なる実数解を持つ。
      3.  である時、
        1. かつ、  但し、  この3次方程式は (重解/重根)と の2個の異なる実数解を持つ。
        2. かつ、 この3次方程式は3個の異なる実数解を持つ。
    2. 微分を用いる解法。
       に対して、 
      2次方程式 の判別式 、この2次方程式に実数解がある場合の解を各々 (但し、 )とする。
      1.  この3次方程式は1個の実数解と2個の異なる虚数解を持つ(有する実数解は1個である)。
      2.  この3次方程式は1個の実数解を持つ。
        1. かつ この3次方程式は1個の実数解と2個の異なる虚数解を持つ。
        2. かつ この3次方程式は1個の実数解 (重解/重根)のみを持つ。
      3.  である時、
        1. かつ この3次方程式は実数解 (重解/重根)と となる別の解 の2個の実数解を持つ。
        2. かつ この3次方程式は実数解 (重解/重根)と となる別の解 の2個の実数解を持つ。
        3. かつ この3次方程式は3個の実数解 を持ち、 となる。

不等式

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絶対不等式

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基本形 ; は、正の実数である場合。

  •  
    等号成立は  のときのみ。
     
  •  
    等号成立は  のときのみ。
     

拡張

  • 正の実数からのみ成る数列   に対し、
     
等号成立は    のときのみ。(相加平均と相乗平均の関係式)
  • 複素数から成る数列   に対し、
     
等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。(三角不等式)
  • 二つの数列  ,   に対し、
     
等号成立は、複素数   ,  , ...,   が全て成り立つようなものが存在するときに限る。(コーシー・シュワルツの不等式)

2次不等式

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  • 2次不等式   の解法:
     であり の解を (但し、 は実数であり※2 )とする。
    ※: ならば、 とし、  として評価。
     であるので、
    •  
    •  
     
    • 解の公式を用いると、 であるので、
     
    •  
     
    •  
     
    ※2: が異なる2個の実数解を持たない場合の  の評価
    1.  が重解を持つ( )とき。
      •  の解は であって、不等式を成立させる は存在しない。
    2.  が虚数解を持つ( )とき。
      1.  ならば、
        1.  は、全ての実数 で成立する。
        2.  を成立させる は存在しない。
      2.  ならば、
        1.  は、全ての実数 で成立する。
        2.  を成立させる は存在しない。

3次不等式

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  • 3次不等式   の解法:
     であり の解が (但し、 は実数であり、 )とする。 が、この関係にない場合は後述する。
    ※: ならば、 とし、  として評価。
     とすると、 である。
     
    この時、各要素の正負とそれをかけ合わせた式全体の正負は、以下のとおりとなる。
各要素の正負と式全体の正負
         
         
         
         
         
  • 以上から、
    1.    ,  (表①③)
    2.    ,  (表②④)
 
  • 3次不等式   と3次方程式  の関係
    ※「方程式の解の存在条件 3次方程式」も参照。
    3次方程式  ( とする。 の場合、大小・増減を入れ替え考察)に関して、実数解を各々 , ,  )とする。条件によっては、 , 存在しない場合もある
    さらに、微分の知識を用いて、 に対して、 、ここで、2次方程式 の判別式 、この2次方程式に実数解がある場合の解を各々 (但し、 )とする。
    なお以下において、条件に、 など、等号成立の場合、存在条件が付加されうるが、場合分けが煩雑になるため割愛する。上記3次方程式の解の存在条件と組み合わせて考察する。
    1.  であるとき、 は単調に増加する。したがって、
      1.    
      2.    
    2.  であるとき、  で極大値 を、 で極小値 をとる。したがって、
      1.  であるとき、
        なお、この時、 
        1.    
        2.    
      2.  であるとき、
        なお、この時、 
        1.    
        2.    
      3.  であるとき、
        なお、この時、 
        1.    
        2.    

行列

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ここでは行列はすべて2次正方行列とする。 をすべての元が である行列   (零行列)とし、 を任意の2次正方行列 に対して となる行列   (2次単位行列)とする。任意の2次正方行列  に対し、次が成り立つ。

  •  となる行列を逆行列といい、 (ただし、 ) で与えられる。

一次変換

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平面座標上の点 を、以下の式によって点 に移す操作を一次変換という。

 
 (但し、 

これを行列を用いて表現する。

 
以下に、代表的な変換行列を示す。
  • 原点を中心とする 回転
     
    • 原点に関する対称移動 
       
  • 直線 に関する対称移動(※証明
     
    •  軸に関する対称移動 
       
    •  軸に関する対称移動 
       
    • 直線 に関する対称移動 
       
    • 直線 に関する対称移動 
       
 
 
※証明
直線 に関する対称移動の操作は、
  1.  回転させることにより、対称軸を 軸に一致させる(操作1)。
  2.  軸に関する対称移動を行う(操作2)。
  3.  回転させることにより、対称軸を元にもどす(操作3)。
ことによって実現できる。
これを、平面上の点 に対して行うと、
操作1
 
操作2
 
操作3
 
倍角公式より