初等数学公式集/初等代数/交代式・例題1

$x+{\frac {1}{x}}=1$であるときの、$x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}$の性質。

　

設問例

$x+{\frac {1}{x}}=1$であるとき^※1、$x^{2023}+{\frac {1}{x^{2023}}}$の値を求めよ^※2。

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解法

　

$x+{\frac {1}{x}}=1$ならば、

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}-2=-1$

$x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}=\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=-1-1=-2$

$x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}=\left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-2-(-1)=-1$

$x^{5}+{\frac {1}{x^{5}}}=\left(x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)=-1-(-2)=1$

$x^{6}+{\frac {1}{x^{6}}}=\left(x^{5}+{\frac {1}{x^{5}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)=1-(-1)=2$

$x^{7}+{\frac {1}{x^{7}}}=\left(x^{6}+{\frac {1}{x^{6}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{5}+{\frac {1}{x^{5}}}\right)=2-(1)=1$

$x^{8}+{\frac {1}{x^{8}}}=\left(x^{7}+{\frac {1}{x^{7}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{6}+{\frac {1}{x^{6}}}\right)=1-(2)=-1$

$x^{9}+{\frac {1}{x^{9}}}=\left(x^{8}+{\frac {1}{x^{8}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{7}+{\frac {1}{x^{7}}}\right)=-1-(1)=-2$

$x^{10}+{\frac {1}{x^{10}}}=\left(x^{8}+{\frac {1}{x^{9}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{8}+{\frac {1}{x^{8}}}\right)=-2-(-1)=-1$

$\vdots$

となり、$1\to -1\to -2\to -1\to 1\to 2\to 1\to -1\to -2\to -1\dots$と$6$を循環節として循環していることがわかる（予想される（厳密な解答は後述））。

　

$x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}=a_{n}$として、$6$を循環節とする循環は以下により証明される。

　

$a_{n}=x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}=\left(x^{n-1}+{\frac {1}{x^{n-1}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{n-2}+{\frac {1}{x^{n-2}}}\right)=a_{n-1}-a_{n-2}$

　

$a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}=a_{n-2}-a_{n-3}-a_{n-2}=-a_{n-3}=-a_{n-4}+a_{n-5}=-a_{n-5}+a_{n-6}+a_{n-5}=a_{n-6}$

　

$n$を$6$の剰余で場合分けする（$n=6k+m$）と以下のとおりとなる。

$a_{6k+1}=a_{1}=1$

$a_{6k+2}=a_{2}=-1$

$a_{6k+3}=a_{3}=-2$

$a_{6k+4}=a_{4}=-1$

$a_{6k+5}=a_{5}=1$

$a_{6k}=a_{6}(=a_{0})=2$

この性質を用いて、設問を解くと、$2023=337\cdot 6+1$であるので、$x^{2023}+{\frac {1}{x^{2023}}}=1$となる^※3。

　

厳密な解法

条件式;$x+{\frac {1}{x}}=1$は、$x^{2}-x+1=0$と変形できる。$(x+1)$をかけると$x^{3}+1=0$という式が得られる (ただし、$(x+1)$は、便宜的に導入した式なので$x\neq -1$となる)^※1。

すなわち、$x^{3}=-1(x\neq -1)$となるが、ここで、累乗した値の絶対値が$1$である性質^※3に注目し、$x=\cos \theta +i\sin \theta (-\pi \leq \theta \leq \pi )$とおいて、ド・モアブルの定理を利用すると、

$x^{3}=(\cos \theta +i\sin \theta )^{3}=\cos 3\theta +i\sin 3\theta =-1$となる。

　

${\begin{cases}\cos 3\theta =-1\\\sin 3\theta =0\end{cases}}$ $(-\pi \leq \theta \leq \pi )$を解いて、$\theta ={\frac {\pi }{3}},-{\frac {\pi }{3}}$を得る。

　

$x=\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}},\cos(-{\frac {\pi }{3}})+i\sin(-{\frac {\pi }{3}})$となる。

　

一方、${\frac {1}{x}}=x^{-1}=\cos(-{\frac {\pi }{3}})+i\sin(-{\frac {\pi }{3}}),\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}$

　

$x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}=(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}})^{n}+(\cos(-{\frac {\pi }{3}})+i\sin(-{\frac {\pi }{3}}))^{n},(\cos(-{\frac {\pi }{3}})+i\sin(-{\frac {\pi }{3}}))^{n}+(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}})^{n}$: 同値となる。

　

$=\cos {\frac {n\pi }{3}}+i\sin {\frac {n\pi }{3}}+\cos(-{\frac {n\pi }{3}})+i\sin(-{\frac {n\pi }{3}})$

　

$=\cos {\frac {n\pi }{3}}+i\sin {\frac {n\pi }{3}}+\cos {\frac {n\pi }{3}}-i\sin {\frac {n\pi }{3}}=2\cos {\frac {n\pi }{3}}$

　

$\cos {\frac {n\pi }{3}}$は、$n$を$6$で割った余りが$\{0,1,2,3,4,5\}$であるとき、$\{1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\}$となるため、$x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}$は、$n$を$6$で割った余りが$\{0,1,2,3,4,5\}$であるとき、$\{2,1,-1,-2,-1,1\}$となる^※3。

脚注

1. 惑わせるため、以下のような条件式で提示されることもある。

   $x^{3}+1=0$ (ただし、$x\neq -1$とする)

2. 入試問題などでこのような大きな数を計算させることはないので、「多分、剰余を使った問題に帰結させるんだな」と予想を立てて解く。
3. と、しかつめらしく解説したが、よく考えれば、$x+{\frac {1}{x}}=1$より、$x^{3}+1=0$、すなわち$x^{3}=-1$、負号を消すため2乗して$x^{6}=1$が得られるので、指数を6で割った余りで判定すれば足りる問題であった。
4. 条件式が、$x+{\frac {1}{x}}=-1$、即ち、$x^{3}=1$ (ただし、$x\neq 1$とする)である類似問題も作れる。とは言え、これも$x^{3}=1$となるので、指数を3で割った余りで判定すれば足りる問題。