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初等数学公式集/初等代数/展開公式
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初等数学公式集/初等代数/展開公式
ここでは展開公式の解説をします。
目次
1
基本的な形
2
2数の和・差の2乗
3
和と差の積
4
一般的な2次の展開公式
5
2数の和・差の3乗
6
2数の3乗の和・差
7
3数の和のn乗
8
その他の展開公式
基本的な形
編集
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
c
+
a
d
+
b
c
+
b
d
{\displaystyle (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}
証明
A
=
(
a
+
b
)
{\displaystyle A=(a+b)}
と置くと、この式は、
A
(
c
+
d
)
{\displaystyle A(c+d)}
となる。
分配法則を適用すると、
A
c
+
A
d
{\displaystyle Ac+Ad}
。
A
{\displaystyle A}
を戻すと
(
a
+
b
)
c
+
(
a
+
b
)
d
{\displaystyle (a+b)c+(a+b)d}
。
それぞれに分配法則を適用すると、
a
c
+
a
d
+
b
c
+
b
d
{\displaystyle ac+ad+bc+bd}
となり証明された。
演習問題
以下の式を展開せよ。
(
x
−
2
)
(
2
x
+
5
)
{\displaystyle (x-2)(2x+5)}
(
2
a
−
4
b
)
(
5
c
+
d
)
{\displaystyle (2a-4b)(5c+d)}
解答
2
x
2
+
x
−
10
{\displaystyle 2x^{2}+x-10}
10
a
c
+
2
a
d
−
20
b
c
−
4
b
d
{\displaystyle 10ac+2ad-20bc-4bd}
2数の和・差の2乗
編集
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
証明
(
a
+
b
)
2
=
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
+
a
b
+
b
a
+
b
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
(
a
−
b
)
2
=
(
a
−
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
−
b
a
+
b
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ba+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
演習問題
以下の式を展開せよ。
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle (x+1)^{2}}
(
2
a
+
4
b
)
2
{\displaystyle (2a+4b)^{2}}
(
5
a
−
3
b
)
2
{\displaystyle (5a-3b)^{2}}
解答
x
2
+
2
x
+
1
{\displaystyle x^{2}+2x+1}
4
a
2
+
16
a
b
+
16
b
2
{\displaystyle 4a^{2}+16ab+16b^{2}}
25
a
2
−
30
a
b
+
9
b
2
{\displaystyle 25a^{2}-30ab+9b^{2}}
和と差の積
編集
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
証明
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
+
b
a
−
b
2
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}}
演習問題
以下の式を展開せよ。
(
5
x
+
1
)
(
5
x
−
1
)
{\displaystyle (5x+1)(5x-1)}
(
2
a
−
3
b
)
(
2
a
+
3
b
)
{\displaystyle (2a-3b)(2a+3b)}
解答
25
x
2
−
1
{\displaystyle 25x^{2}-1}
4
a
2
−
9
b
2
{\displaystyle 4a^{2}-9b^{2}}
一般的な2次の展開公式
編集
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
=
x
2
+
(
a
+
b
)
x
+
a
b
{\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab}
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
=
a
c
x
2
+
(
a
d
+
b
c
)
x
+
b
d
{\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}
証明
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
=
x
2
+
b
x
+
a
x
+
a
b
=
x
2
+
(
a
+
b
)
x
+
a
b
{\displaystyle (x+a)(x+b)=x^{2}+bx+ax+ab=x^{2}+(a+b)x+ab}
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
=
a
c
x
2
+
a
d
x
+
b
c
x
+
b
d
=
a
c
x
2
+
(
a
d
+
b
c
)
x
+
b
d
{\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+adx+bcx+bd=acx^{2}+(ad+bc)x+bd}
演習問題
以下の式を展開せよ。
(
x
+
1
)
(
x
+
3
)
{\displaystyle (x+1)(x+3)}
(
2
x
−
3
)
(
5
x
+
5
)
{\displaystyle (2x-3)(5x+5)}
(
7
a
b
+
9
)
(
−
2
a
b
+
10
)
{\displaystyle (7ab+9)(-2ab+10)}
解答
x
2
+
4
x
+
3
{\displaystyle x^{2}+4x+3}
10
x
2
−
5
x
−
15
{\displaystyle 10x^{2}-5x-15}
−
14
a
2
b
2
+
52
a
b
+
90
{\displaystyle -14a^{2}b^{2}+52ab+90}
2数の和・差の3乗
編集
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}
証明
(
a
+
b
)
3
=
(
a
+
b
)
2
(
a
+
b
)
=
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
(
a
+
b
)
=
a
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
+
b
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
=
a
3
+
2
a
2
b
+
a
b
2
+
a
2
b
+
2
a
b
2
+
b
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=(a+b)^{2}(a+b)=(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)=a(a^{2}+2ab+b^{2})+b(a^{2}+2ab+b^{2})=a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
の
b
{\displaystyle b}
に
−
b
{\displaystyle -b}
を代入すると、
(
a
−
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
(
−
b
)
+
3
a
(
−
b
)
2
+
(
−
b
)
3
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}+3a^{2}(-b)+3a(-b)^{2}+(-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}
演習問題
以下の式を展開せよ。
(
2
a
+
b
)
3
{\displaystyle (2a+b)^{3}}
(
4
x
2
−
7
)
3
{\displaystyle (4x^{2}-7)^{3}}
解答
8
a
3
+
12
a
2
b
+
6
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle 8a^{3}+12a^{2}b+6ab^{2}+b^{3}}
64
x
6
−
336
x
4
+
588
x
2
−
343
{\displaystyle 64x^{6}-336x^{4}+588x^{2}-343}
2数の3乗の和・差
編集
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
=
a
3
+
b
3
{\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}}
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=
a
3
−
b
3
{\displaystyle (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}}
3数の和のn乗
編集
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
b
c
+
2
c
a
{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}
(
a
+
b
+
c
)
3
=
a
3
+
b
3
+
c
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
3
b
2
c
+
3
b
c
2
+
3
c
2
a
+
3
a
2
c
+
6
a
b
c
{\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+3c^{2}a+3a^{2}c+6abc}
(
a
+
b
+
c
)
4
=
a
4
+
b
4
+
c
4
+
4
a
3
b
+
4
a
b
3
+
4
b
3
c
+
4
c
a
3
+
4
b
c
3
+
4
c
3
a
+
6
a
2
b
2
+
6
b
2
c
2
+
6
c
2
a
2
+
12
a
2
b
c
+
12
a
b
2
c
+
12
a
b
c
2
{\displaystyle (a+b+c)^{4}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4a^{3}b+4ab^{3}+4b^{3}c+4ca^{3}+4bc^{3}+4c^{3}a+6a^{2}b^{2}+6b^{2}c^{2}+6c^{2}a^{2}+12a^{2}bc+12ab^{2}c+12abc^{2}}
その他の展開公式
編集
(
a
+
b
+
c
)
(
a
2
+
b
2
+
c
2
−
a
b
−
b
c
−
c
a
)
=
a
3
+
b
3
+
c
3
−
3
a
b
c
{\displaystyle (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
(
x
+
c
)
=
x
3
+
(
a
+
b
+
c
)
x
2
+
(
a
b
+
b
c
+
c
a
)
x
+
a
b
c
{\displaystyle (x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+abc}
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
⋯
+
b
n
−
1
)
=
a
n
−
b
n
{\displaystyle (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})=a^{n}-b^{n}}
