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初等数学公式集/初等代数/剰余計算・例題・特殊な剰余計算
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初等数学公式集
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初等代数
特殊な剰余の計算
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x
m
{\displaystyle x^{m}}
を
n
{\displaystyle n}
次式
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
(ただし、
m
>
n
{\displaystyle m>n}
)で割った剰余。
設問例
x
2023
−
1
{\displaystyle x^{2023}-1}
を
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
で割った余りを求めよ。(京都大学 理系数学 2023年 第1問問2)
解法
（解答の方針）
「公式集」より
除多項式を、
x
n
{\displaystyle x^{n}}
の式が出てくるように変形する。
f
(
x
)
=
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
とする。
x
−
1
{\displaystyle x-1}
をかけると、
(
x
−
1
)
f
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
)
=
x
5
−
1
{\displaystyle (x-1)f(x)=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{5}-1}
x
5
=
(
x
−
1
)
f
(
x
)
+
1
{\displaystyle x^{5}=(x-1)f(x)+1}
x
2023
=
x
5
⋅
404
⋅
3
=
(
(
x
−
1
)
f
(
x
)
+
1
)
404
x
3
{\displaystyle x^{2023}=x^{5\cdot 404\cdot 3}=((x-1)f(x)+1)^{404}x^{3}}
（※）
2項定理より、
(
(
x
−
1
)
f
(
x
)
+
1
)
404
=
(
(
x
−
1
)
f
(
x
)
)
404
+
404
(
(
x
−
1
)
f
(
x
)
)
403
+
⋯
+
404
(
(
x
−
1
)
f
(
x
)
)
+
1
{\displaystyle ((x-1)f(x)+1)^{404}=((x-1)f(x))^{404}+404((x-1)f(x))^{403}+\cdots +404((x-1)f(x))+1}
、
定数項以外は
(
x
−
1
)
f
(
x
)
{\displaystyle (x-1)f(x)}
を共通因数に持つので、定数項以外の項を、
(
x
−
1
)
f
(
x
)
G
(
x
)
{\displaystyle (x-1)f(x)G(x)}
と表すことができ、
※
=
(
(
x
−
1
)
f
(
x
)
G
(
x
)
+
1
)
x
3
=
x
3
(
x
−
1
)
f
(
x
)
G
(
x
)
+
x
3
{\displaystyle =((x-1)f(x)G(x)+1)x^{3}=x^{3}(x-1)f(x)G(x)+x^{3}}
となる。
前項は
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
を含む式であるため、
x
2023
−
1
{\displaystyle x^{2023}-1}
を
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}
で割った余りは、
x
3
−
1
{\displaystyle x^{3}-1}
となる。
