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挨拶

初めまして。受験勉強の補助になるかと思い、教科書の内容を自分なりに解釈して書き出しています(決して著作権違反はしておりません)。ご迷惑をお掛けするかもしれませんが、どうぞ宜しくお願いします。カズ 2005年5月22日 (日) 09:43 (UTC)
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執筆中

進捗状況の凡例

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: 一応完成しています。

書きさし

解の公式

3次方程式

まず、 $x^{3}=a$ を解くことを考える。

$x^{3}=a$

$x^{3}-a=0$

$(x-{\sqrt[{3}]{a}})(x^{2}+{\sqrt[{3}]{a}}x+{\sqrt[{3}]{a}}^{2})=0$

$x={\sqrt[{3}]{a}},{\sqrt[{3}]{a}}{\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}$

a=1のときの虚数解のひとつ(どちらでもよい)を $\omega$ とする。他方は $\omega ^{2}$ となるので

$x={\sqrt[{3}]{a}},{\sqrt[{3}]{a}}\omega ,{\sqrt[{3}]{\omega }}^{2}$

次に、 $x^{3}+ax+b=0$ を考える。

$x=A+B$ とすると、

$x^{3}$	$=(A+B)^{3}$
	$=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}$
	$=A^{3}+B^{3}+3AB(A+B)$
	$=(A^{3}+B^{3})+3ABx$

移項して、

$x^{3}-3ABx-(A^{3}+B^{3})=0$

ここで、元の式と比べると、

$a=-3AB,b=-(A^{3}+B^{3})$

である。

$a=-3AB$ を変形して、

$-{\frac {a}{3}}=AB$

$-{\frac {a^{3}}{3^{3}}}=A^{3}B^{3}$

また、 $A^{3}+B^{3}=-b$

なので、 $A^{3},B^{3}$ を解とする二次方程式

$x^{2}+bx-{\frac {a^{3}}{3^{3}}}=0$

が立てられる。これを解くと、

$x={\frac {-3^{2}b\pm {\sqrt {3^{4}b^{2}+2^{2}*3a^{3}}}}{2*3^{2}}}$

となる。

$A^{3}={\frac {-3^{2}b+{\sqrt {3^{4}b^{2}+2^{2}*3a^{3}}}}{2*3^{2}}},$ $B^{3}={\frac {-3^{2}b-{\sqrt {3^{4}b^{2}+2^{2}*3a^{3}}}}{2*3^{2}}}$

とおく。A,Bの解のうち実数解をそれぞれ $A_{0},B_{0}$ とする。つまり、

$A_{0}={\sqrt[{3}]{\frac {-3^{2}b+{\sqrt {3^{4}b^{2}+2^{2}*3a^{3}}}}{2*3^{2}}}},$ $B_{0}={\sqrt[{3}]{\frac {-3^{2}b-{\sqrt {3^{4}b^{2}+2^{2}*3a^{3}}}}{2*3^{2}}}}$

するとA,Bの解はそれぞれ

$A=A_{0},A_{0}\omega ,A_{0}\omega ^{2},$ $B=B_{0},B_{0}\omega ,B_{0}\omega ^{2}$

で、x=A+Bなのでxは9つの解を持つことになる。しかし3次方程式の解は3つなので、残りの6つは無縁解である。

ところで、

$A_{0}^{3}+B_{0}^{3}$	$={\frac {-3^{2}b+{\sqrt {3^{4}b^{2}+2^{2}3a^{3}}}}{23^{2}}}+{\frac {-3^{2}b-{\sqrt {3^{4}b^{2}+2^{2}3a^{3}}}}{23^{2}}}$
	$=2{\frac {-3^{2}b}{23^{2}}}$
	$=-b$

$A_{0}B_{0}$	$={\sqrt[{3}]{{\frac {-3^{2}b+{\sqrt {3^{4}b^{2}+2^{2}3a^{3}}}}{23^{2}}}{\frac {-3^{2}b-{\sqrt {3^{4}b^{2}+2^{2}3a^{3}}}}{2*3^{2}}}}}$
	$={\sqrt[{3}]{\frac {3^{4}b^{2}-(3^{4}b^{2}+2^{2}3a^{3})}{2^{2}3^{4}}}}$
	$=-{\frac {a}{3}}$

より、

$(A_{0}+B_{0})^{3}$	$=A_{0}^{3}+B_{0}^{3}+3A_{0}B_{0}(A_{0}+B_{0})$
	$=-b-a(A_{0}+B_{0})$

移項すると、

$(A_{0}+B_{0})^{3}+a(A_{0}+B_{0})+b=0$

これは元の方程式と合致するので $x=A_{0}+B_{0}$ は解のひとつである。

すると、

$(A_{0}\omega +B_{0}\omega ^{2})^{3}$	$=A_{0}^{3}\omega ^{3}+3A_{0}^{2}B_{0}\omega ^{4}+3A_{0}B_{0}^{2}\omega ^{5}+B_{0}^{3}\omega ^{6}$
	$=A_{0}^{3}+3A_{0}^{2}B_{0}\omega +3A_{0}B_{0}^{2}\omega ^{2}+B_{0}^{3}$
	$=A_{0}^{3}+B_{0}^{3}+3A_{0}B_{0}(A_{0}\omega +B_{0}\omega ^{2})$
	$=-b-a(A_{0}\omega +B_{0}\omega ^{2})$

より

$(A_{0}\omega +B_{0}\omega ^{2})^{3}+a(A_{0}\omega +B_{0}\omega ^{2})+b=0$

で、 $x=A_{0}\omega +B_{0}\omega ^{2}$ も解、

$(A_{0}\omega ^{2}+B_{0}\omega )^{3}$	$=A_{0}^{3}\omega ^{6}+3A_{0}B_{0}^{2}\omega ^{5}+3A_{0}^{2}B_{0}\omega ^{4}+B_{0}^{3}\omega ^{3}$
	$=A_{0}^{3}+3A_{0}^{2}B_{0}\omega ^{2}+3A_{0}B_{0}\omega ^{2}+B_{0}^{3}$
	$=A_{0}^{3}+B_{0}^{3}+3A_{0}B_{0}(A_{0}\omega ^{2}+B_{0}\omega )$
	$=-b-a(A_{0}\omega ^{2}+B_{0}\omega )$

より

$(A_{0}\omega ^{2}+B_{0}\omega )^{3}+a(A_{0}\omega ^{2}+B_{0}\omega )+b=0$

で、 $x=A_{0}\omega ^{2}+B_{0}\omega$ も解である。

よって $x=A_{0}+B_{0},A_{0}\omega +B_{0}\omega ^{2},A_{0}\omega ^{2}+B_{0}\omega$ が解である。

いよいよ一般の3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ を解く。

まずaを消去して、

$x^{3}+{\frac {b}{a}}x^{2}+{\frac {c}{a}}x+{\frac {d}{a}}=0$

次に、前の形にまとめるため、 $x=y-{\frac {b}{3a}}$ とおくと、

$\left(y-{\frac {b}{3a}}\right)^{3}+{\frac {b}{a}}\left(y-{\frac {b}{3a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\left(y-{\frac {b}{3a}}\right)+{\frac {d}{a}}=0$

$y^{3}-{\frac {b}{a}}y^{2}+{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}y-{\frac {b^{3}}{3^{3}a^{3}}}+{\frac {b}{a}}y^{2}-{\frac {2b^{2}}{3a^{2}}}y+{\frac {b^{3}}{3^{2}a^{3}}}+{\frac {c}{a}}y-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}=0$

$y^{3}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}\right)y+\left({\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {2b^{3}}{3^{3}a^{3}}}\right)=0$

$y^{3}+{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}y+{\frac {3^{3}a^{2}d-3^{2}abc+2b^{3}}{3^{3}a^{3}}}=0$

さて、

$3^{4}\left({\frac {3^{3}a^{2}d-3^{2}abc+2b^{3}}{3^{3}a^{3}}}\right)^{2}+2^{2}*3\left({\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\right)^{3}$

$={\frac {3^{6}a^{4}d^{2}-3^{4}a^{2}b^{2}c^{2}+2^{2}b^{6}-2*3^{5}a^{3}bcd-2^{2}3^{2}ab^{4}c+2^{2}3^{3}a^{2}b^{3}d}{3^{2}a^{6}}}+{\frac {2^{2}3^{3}a^{3}c^{3}-2^{2}3^{3}a^{2}b^{2}c^{2}+2^{2}3^{2}ab^{4}c-2^{2}b^{6}}{3^{2}a^{6}}}$

$={\frac {3^{6}a^{4}d^{2}-2*3^{5}a^{3}bcd+2^{2}3^{3}a^{3}c^{3}+2^{2}3^{3}a^{2}b^{3}d-3^{3}7a^{2}b^{2}c^{2}}{3^{2}a^{6}}}$

$={\frac {3^{4}a^{2}d^{2}-2*3^{3}abcd+2^{2}3ac^{3}+2^{2}3b^{3}d-3*7b^{2}c^{2}}{a^{4}}}$