制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/指数関数の場合

§1

前節の思いつきが成功したのは，割り算が常に割り切れたからである． 割り切れたのは $f(t)$ が $t$ の多項式であったからで， $f(t)$ を何回か微分すれば必ず $0$ となることが保証されているからにほかならない． そこで，何回微分しても決して $0$ にならない指数関数を $f(t)$ に選んでみよう．

例5$\quad$

${\frac {dx}{dt}}+x=e^{at}$

例によって $p={\frac {d}{dt}}$ とおくと

$px+x=e^{at}$

$x={\frac {e^{at}}{p+1}}$

となる．この割り算を実行しよう．

${\begin{array}{lcl}&&e^{at}&-ae^{at}&a^{2}e^{at}&-a^{3}e^{at}&\cdots \\\hline 1+p&)&e^{at}&&&&\\&&e^{at}&ae^{at}&&&\\\hline &&&-ae^{at}&&&\\&&&-ae^{at}&-a^{2}e^{at}&&\\\hline &&&&+a^{2}e^{at}&&\\&&&&+a^{2}e^{at}&a^{3}e~{at}&\\\hline &&&&&-a^{3}e^{at}&\\&&&&&-a^{3}e^{at}&-a^{4}e^{at}\\\hline &&&&&&a^{4}e^{at}\\\end{array}}$

$e^{at}/(1+p)=e^{at}\cdots \cdots -ae^{at}$

$-ae^{at}/(1+p)=-ae^{at}\cdots \cdots a^{2}e^{at}$

$a^{2}e^{at}/(1+p)=a^{2}e^{at}\cdots \cdots -a^{3}e^{at}$

$-a^{3}e^{at}/(1+p)=-a^{3}e^{at}\cdots \cdots a^{4}e^{at}$

これはいつまでたっても割り切れない．しかしここで諦めては長蛇を逸する． そこで $n$ 回，上の演算を実行すると，

商：$x_{n}(t)=\{1-a+a^{2}-a^{3}+\cdots +(-1)^{n-1}a^{n-1}\}e^{at}$

剰余：$r_{n}(t)=(-1)^{n}e^{at}$

を得る．したがって，

$|a|<1$

ならば，無限回の施行の後，

$\lim _{n\to \infty }r_{n}(t)=0$

となって割り切れる．このとき商は，

$x(t)=(1-a+a^{2}-a^{3}+\cdots \cdots )e^{at}={\frac {e^{at}}{1+a}}$

となる．

験算

${\frac {dx}{dt}}+x={\frac {ae^{at}}{1+a}}+{\frac {e^{at}}{1+a}}=e^{at}$

よって，この $x(t)$ は，初期条件 $x(0)={\frac {1}{1+a}}$ をみたす解であることが分かった．

§2

上で行った験算は，$|a|<1$ でなくても，$x(t)$ が正しい解を与えることを示している．そこで，

$|a|>1$

の場合にも，正しいを解が得られるように工夫してみよう．$p$ で割るということは，積分するということであった． $e^{at}$ を積分すれば ${\frac {e^{at}}{a}}$ となる．${\frac {1}{a}}$ のベキ級数は $|a|>1$ で収束する． そこで割り算を少し変形して、次のように $p$ から先に割っていこう．

${\begin{array}{lcl}&&{\frac {1}{a}}e^{at}&-{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}&{\frac {1}{a^{3}}}e^{at}&&\cdots \\\hline p+1&)&e^{at}&&&&\\&&e^{at}&{\frac {1}{a}}e^{at}&&&\\\hline &&&-{\frac {1}{a}}e^{at}&&&\\&&&-{\frac {1}{a}}e^{at}&-{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}&&\\\hline &&&&+{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}&&\\&&&&+{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}&{\frac {1}{a^{3}}}e~{at}&\\\hline &&&&&-{\frac {1}{a^{3}}}e^{at}&\\\end{array}}$

$e^{at}\div (p+1)={\frac {1}{a}}e^{at}\cdots \cdots -{\frac {1}{a}}e^{at}$

$-{\frac {1}{a}}e^{at}\div (p+1)=-{\frac {1}{a^{2}}}e^{at}\cdots \cdots {\frac {1}{a^{2}}}e^{at}$

${\frac {1}{a^{2}}}e^{at}\div (p+1)={\frac {1}{a^{3}}}e^{at}.....$

この演算を無限回続けると，$|a|>1$ であるから，商は収束して，

$x(t)=\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{a^{3}}}-{\frac {1}{a^{4}}}\cdots \cdots \right)e^{at}={\frac {1-({\frac {-1}{a}})^{n}}{1-(-{\frac {1}{a}})}}{\frac {1}{a}}\cdot e^{at}={\frac {1}{1+{\frac {1}{a}}}}{\frac {1}{a}}\cdot e^{at}={\frac {a}{a+1}}{\frac {1}{a}}\cdot e^{at}={\frac {e^{at}}{1+a}}$

となる．

§3

$|a|=1$ の場合の考察は後まわしにして，これら 2 種の計算法の検討をしておこう．

$1^{\circ }$ $|a|<1$ の場合

$x(t)={\frac {e^{at}}{1+p}}=\left(1-p+p^{2}-p^{3}+\cdots \right)e^{at}=\left(1-a+a^{2}-a^{3}+\cdots \right)e^{at}={\frac {e^{at}}{1+a}}$

$2^{\circ }$ $|a|>1$ の場合

$x(t)={\frac {e^{at}}{1+p}}=\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{3}}}-{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \right)e^{at}=\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{a^{3}}}-{\frac {1}{a^{4}}}+\cdots \right)e^{at}={\frac {e^{at}}{1+a}}$

このように $p$ の関数を $p$ あるいは ${\frac {1}{p}}$ で展開し，$p$ は微分，${\frac {1}{p}}$ は積分と考えて形式的に計算すると，正しい答に導かれる．例えば例1は

${\frac {t^{2}+3t}{p+1}}=(1-p+p^{2}-p^{3}+\cdots )(t^{2}+3t)=(t^{2}+3t)-(2t+3)+2=t^{2}+t-1$

となって同じ答を得る．

例6$\quad$ ${\frac {1}{p}}$ で展開するとどうなるか．

解答例$\quad$

${\frac {t^{2}+3t}{p+1}}=\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{3}}}-{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \right)(t^{2}+3t)=\left({\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {3}{2}}t^{2}\right)-\cdots \cdots$

と項が無限に生成されてしまい，うまくいかない．

§4

上に示した幾つかの例において，微分方程式の解は得られるには得られたが，まだ多くの問題点を残している． 手法のいかがわしさは暫くおくとしても，一つの方程式に対して一つの解しか得られず、任意の初期値を満たす解が得られないのは大きな欠陥である． このことは，次のような方程式

(1.5)

${\frac {dx}{dt}}-ax=0$

を取り扱うとき，深刻な問題となる．というのは，単に $p={\frac {d}{dt}}$ と置いたのでは，

$px-ax=0$

$x={\frac {0}{p-a}}=0$

となって，得られた解 $x(t)\equiv 0$ は正しい解には違いないが，視察でも求まるつまらない解だからである．

さて ${\frac {1}{p}}$ を積分と考えることによって、色々な初期値が得られる可能性のあることを前に示唆しておいた．

そこで，ひとまず (1.5) を $0$ から $t$ で積分してみよう．

(1.6)

$x(t)-x(0)-\int _{0}^{t}ax(\tau )d\tau =0$

を得る．そこで，積分は微分 $p$ の逆演算であるという考えを一方深めて，改めて，

$\int _{0}^{t}dt=:{\frac {1}{p}}$

あるいは，もっと正確に，

(1.7)

$\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau =:{\frac {1}{p}}f(t)$

と定義しなおすことにしよう．そうすれば式 (1.6) は，

$x-x(0)-{\frac {a}{p}}x=0$

となる．初期値 $x(0)$ が入ってきたところが，単に ${\frac {d}{dt}}=p$ とおいた場合と根本的に異なっている． この式を $x$ について解き，

$x={\frac {x(0)}{1-{\frac {a}{p}}}}$

これを ${\frac {1}{p}}$ で展開すると，

(1.8)

$x=\left(1+{\frac {a}{p}}+{\frac {a^{2}}{p^{2}}}+{\frac {a^{3}}{p^{3}}}+\cdots \right)x(0)$

を得る． さてここで定義 (1.7) に戻り，

${\frac {1}{p}}={\frac {1}{p}}\cdot 1=\int _{0}^{t}d\tau =t$

${\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p}}t=\int _{0}^{t}\tau d\tau ={\frac {t^{2}}{2!}}$

以下同様にして，

(1.9)

${\frac {1}{p^{n}}}={\frac {t^{n}}{n!}}$

が得られることに注意すると，式 (1.8) は

$x(t)=\left(1+at+{\frac {a^{2}t^{2}}{2!}}+{\frac {a^{3}t^{3}}{3!}}+\cdots \right)x(0)$

となる．上の式の（　）内は $e^{at}$ の Taylor 展開である．よって，

$x(t)=e^{at}x(0)$

を得る．これが式 (1.5) の正しい解であることは明らかである．

どうやら我々は満足するべき解法にかなり近づいたようである．次節でもう少し掘り下げて考えてみよう．