Heaviside の着想は大変優れたものであり,
多くの正しい結果を導いた.
しかしながら数学的に首肯しかねるところが多い.
とか
と置くことには問題はない.しかし,
- (1) の関数(例えば )で割る
- (2) や のべきで展開する
- (3) 部分分数に分解する
などは が数であるならば差し支えないが,そうでない場合は極めて問題である.
このような疑問もあって,彼の仕事は生前は必ずしも正しく評価されなかったという.
しかしその成果の豊かさには目をみはるものがある.
そのことが,幾人かの数学者の注意を引き、1920 年前後には,T. Bromwitch,K. W. Wagner,J. R. Carson などにより,正当化が試みられ,
多くの応用を生み,これらは,G. Doetsch による Laplace 変換による厖大な著作[1]
としてまとめられている.
さてその合理化の方法であるが,
すなわち,微分すれば 倍となり,積分すれば となる関数は手近なところに見出される.それは指数関数
である.ここに は実数または複素数である.この事実に留意して に対する微分や積分を に肩代わりさせることを試みよう.
それは部分積分[2]を通じて可能となる.すなわち
関数:
導関数:
原始関数:
とすると,部分積分は
を
を
に変える技法であるから,まず
(a)
とおくと,
[3]
となる.ここで,
となるならば[4],
(1.18)
となる.そこで今,
(1.19)
のような対応(積分変換)を考えると,式 (1.18) は
(1.20)
[5][6]
となる.
(b)
次に,
[7]
とおいて部分積分を考えると,
[8]
となる.ここでも,
となるならば,
となる.対応 式 (1.19) を考えれば,
(1.21)
を得る[9].
式 (1.20) と (1.21) は我々が求めていた関係である[10].
つまり,変換式 (1.19) によって の関数を の関数に変換すれば,
の領域での微分や積分が, の領域では を乗除することに対応することが証明されたのである.
ここでは は数であるから, に関する演算に係わるわだかまりは氷解するのである.
このようにして,少なくとも,1930 年頃までには,
なる関係式が見出だされ,演算子法の合理化が完成したのである.しかし現在では,
(1.22)
(1.23)
が用いられている.この方が部分分数分解などを行う際の計算が楽になるのである.
この式は,これより以前に Laplace (1749-1827) によって用いられていたので,
式 (1.22) を Laplace 変換(Laplace 積分),
式 (1.23) を Laplace の逆変換(Bromwich 積分, または Laplace 積分の反転公式)と呼んでいる.
この対応を,
あるいは,
などと記す.この対応(変換)により,微分・積分が, の乗・除という代数演算に変換され,それに伴い微分方程式が代数方程式となる.そして,
この原理によって,微分方程式を解くことができるのである.このような方法で,ある種の積分方程式や差分方程式を解くこともできる.
このような考え方は,特に新奇なものではない.これと類似の演算技法はすでに経験済みである.
対数をとることによって,掛け算を足し算に変えたあの技法を思い出せばよいのである.
- ^
Handbuch der Laplace-Transformation 3巻 (1950, 1955, 1956, Springer)
- ^
部分積分を復習しておく.関数 の積 の による微分は
ゆえに
両辺を で積分すると
- ^ を積分、 を微分した.
- ^
は実数) ならば, のとき可能.このような を指数位の関数という.
- ^
さらに精緻にみていく. .したがって
.
ここで式 (1.18) よりただちに
ゆえに
を各項に分配して
ここで だから
.
- ^
式 (1.12) と比較せよ.
- ^ 部分積分 を適用する.
- ^
- ^
.したがって
.
であるから,
ここで だから
.
- ^
さらに 式(1.13) については,
.(ただし )
また式 (1.14a) については,
および より
.
式(1.16),(1.17)については,
と置くとき,
…①,
…②
①②より .
すなわち
また