制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/Mikusiński の演算子法

Heaviside の演算子法は Laplace 変換によって正当化されたが，その反面失われたものも少なくない． 演算子法の生命ともいうべき簡便さが損なわれたのである．例えば，

$e^{at}={\frac {p}{p-a}}$

$e^{at}\mapsto {\frac {p}{p-a}}$

の両者を比べてみればよい．上式が等号で成立しているのに，下式は積分変換式（1.19）である． その上 Laplace 変換を厳密に取り扱おうとすると，複素関数論の知識が必要となり，わずらわしさが増加する．

この欠陥を克服するため，1951 年ポーランドの Mikusiński は新しい演算子法を創り上げた． それは合成積

$f*g:=\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

を基礎にしたものである．この式において $f(t)=1$ とおけば

$1*g=\int _{0}^{t}g(\tau )d\tau$

となる．つまり，合成積の意味で $1$ を掛けるということは，積分を意味する． その逆すなわち，$1$ で割る（合成積の意味で）ことが微分を意味するであろう． そこで，

$f+g:=f(t)+g(t)$

$f*g:=\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

なる 2 種の演算を含む代数系を考える．するとこれは整数と同様に加減乗の 3 演算が自由にできることが分かる． そこで，この代数系の中で割り算が自由にできるように，分数を導入する．それを演算子と考えるのである．すなわち

$1*g={\frac {1}{p}}g(t)$ あるいは ${\frac {1}{s}}g(t)$

とすれば Heaviside の精神がほぼ完全にいかされることになるのである． Mikusiński の演算子法はここではこれ以上は追求せず、かわりに次章以降，Laplace 変換と線形微分方程式を Mikusiński の精神で紹介する．