制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分

(1)原始関数

実変数 $t$ の複素数値関数 $f(t)$ が与えられているとき，

${\frac {dF(t)}{dt}}=f(t)$

となる関数 $F(t)$ を $f(t)$ の原始関数という．

例87$\quad$

${\frac {1}{\alpha }}e^{\alpha t}$

は $e^{\alpha t}$ の原始関数．

$\diamondsuit$

$Ain\mathbf {C}$ を任意の定数とするとき，$F(t)+A$ も $f(t)$ の原始関数となる．これを，

$\int f(t)dt:=F(t)+A$

と表す．時には $A$ を省略することがある．

さてこのように定義すると $g(t),h(t)$ を実関数とし，

$f(t)=g(t)+ih(t)$

なるとき，

$\int f(t)dt=\int g(t)dt+i\int h(t)dt$

すなわち，

$\mathrm {Re} \ \int f(t)dt=\int \mathrm {Re} \ f(t)dt$

$\mathrm {Im} \ \int f(t)dt=\int \mathrm {Im} \ f(t)dt$

が成立する．

事実，$f(t)$ の原始関数の一つを，

$F(t)=G(t)+iH(t)$

とすると，微分の定義から，

${\frac {dF}{dt}}={\frac {dG}{dt}}+i{\frac {dH}{dt}}$

であるが，これが，

$g(t)+ih(t)$

に等しいのであるから，相等の定義から，

${\frac {dG}{dt}}=g,\quad {\frac {dH}{dt}}=h$

となる．これは $G,H$ が実関数 $g,h$ の原始関数であることを意味するから，

$G(t)+a=\int g(t)dt,\quad H(t)+b=\int h(t)dt$

と書ける．ここに $a,b$ は任意の実定数である．ここで $A=a+ib$ とおくと，

$F(t)+A=\{G(t)+a\}+i\{H(t)+b\}$

すなわち，

$\int f(t)dt=\int g(t)dt+i\int h(t)dt$

を得る．

例88$\quad$

$\int e^{\alpha t}dt={\frac {1}{\alpha }}e^{\alpha t}\quad \alpha =a+ib$

の実部と虚部を等置することにより，

$\int e^{\alpha t}\cos bt\ dt={\frac {e^{at}}{a^{2}+b^{2}}}(a\cos bt+b\sin bt)$

$\int e^{\alpha t}\sin bt\ dt={\frac {e^{at}}{a^{2}+b^{2}}}(a\sin bt-b\cos bt)$

を得る． $\diamondsuit$

(2)定積分

複素数値関数 $f(t)=g(t)+ih(t)$ の定積分を，

$\int _{a}^{b}f(t)dt=\int _{a}^{b}g(t)dt+i\int _{a}^{b}h(t)dt$

と定義する．このとき微分積分学の基本公式が成立する．

微分積分学の基本公式

$\int _{a}^{b}f'(t)dt=f(b)-f(a)$

証明

実関数に対する基本公式，

$\int _{a}^{b}g'(t)dt=g(b)-g(a)$

$\int _{a}^{b}h'(t)dt=h(b)-h(a)$

は既知であるから，第 2 式に $i$ を掛けて加えればよい．

また定積分に関して次の性質が成立する．

複素数値関数の積分の基本的性質

[Ⅰ] $f_{1}(t),f_{2}(t)$ を複素数値関数，$c_{1},c_{2}\in \mathbf {C}$ とすれば

$\int _{a}^{b}\left\{c_{1}f_{1}(t)+c_{2}\right\}=c_{1}\int _{a}^{b}f_{1}(t)dt+c_{2}\int _{a}^{b}f_{2}(t)dt$

[Ⅱ] $f(t),g(t)$ を複素数値関数とするとき，

$\int _{a}^{b}f'(t)g(t)={\bigg [}f(t)g(t){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(t)g'(t)dt$

[Ⅲ] $f(t)$ を複素数値関数，$\varphi (\tau )$ は実数値関数とする．このとき，

$\int _{a}^{b}f(t)dt=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}f[\varphi (\tau )]\varphi '(\tau )d\tau$

ここに，$a=\varphi (\tau _{a}),b-\varphi (\tau _{b})$．

[Ⅳ]

$\left|\int _{a}^{b}f(t)dt\right|\leqq \int _{a}^{b}\left|f(t)\right|dt\quad b>a$

ここに $f(t)$ は複素数値関数

[Ⅴ] $f(t)$ を任意の有限区間で積分可能な複素数値関数とする．

$\int _{0}^{\infty }\left|f(t)\right|dt<\infty$ ならば $\int _{0}^{\infty }f(t)dt$ は存在する．

以下に Ⅳ の証明だけ与えておく． ほかは，実関数に関する同様な公式を既知とすれば，複素数値関数の積分の定義から簡単に得られる．

公式Ⅳの証明

$\int _{a}^{b}f(t)dt$ は複素数であるから，その偏角を $\theta$ とおいて，極形式で表すと，

$\int _{a}^{b}f(t)dt=\left|\int _{a}^{b}f(t)dt\right|e^{i\theta }$

よって，

$\left|\int _{a}^{b}f(t)dt\right|=e^{-i\theta }\int _{a}^{b}f(t)dt$

公式Ⅰを用いて

$=\int _{a}^{b}e^{-i\theta }f(t)dt$

定積分の定義により，

$=\int _{a}^{b}\mathrm {Re} \ \left\{e^{-i\theta }f(t)\right\}dt+i\int _{a}^{b}\mathrm {Im} \ \left\{e^{-i\theta }f(t)\right\}dt$

となる．左辺は実数であるから，右辺の第 2 項は $0$ である．また，

$\mathrm {Re} \ \left\{e^{-i\theta }f(t)\right\}\leqq \left|e^{-i\theta }f(t)\right|=|f(t)|$

であるから，実関数に関する公式Ⅳを用いると，

$\left|\int _{a}^{b}f(t)dt\right|=\int _{a}^{b}\mathrm {Re} \ \left\{e^{-i\theta }f(t)\right\}dt$

$\leqq \int _{a}^{b}|f(t)|dt\quad (b>a)$

を得る．

$\diamondsuit$