制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/Laplace 変換の基本的性質

前章と同様に,次の基本的性質が成立する. を複素数値関数, を複素数とする.


複素数値関数の Lapalce 変換の基本的性質

とすれば,

証明

第 1 段: が実数値関数のとき,

とすると,積分の定義から,

[1]

である.第 1 項を ,第 2 項を とおき,積分順序を交換すると,前章と同様にして[2]

を得る.よって は再び積分の定義により,

となる.よって 前章と同じ関係式,

ここで積分変数を と変更すれば,積分の基本的性質により[3]

を得る.これで が実数値関数のとき[4]証明ができた.次に,


第 2 段: のときを証明する.

であるから,第 1 段の結果と Laplace 変換の基本性質を用いればよい[5]

このように,基本的性質が示されたので前章と同様に,微分方程式を解くのに必要な公式のすべてを導くことができる. 例えば,

積分

微分

など.これらはもちろん Laplace 変換の定義から直接導くこともできる.また,

移動定理

などの証明も,前章と全く同様である.



  1. ^


  2. ^
  3. ^ により積分変数を から に変更すると,
    より



  4. ^ で、 が複素数のとき
  5. ^