制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/行列による表示、その１

上に述べた例を，ベクトルや行列を用いて表示してみよう．

(5.6)

${\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}{\frac {dx}{dt}}\\{\frac {dy}{dt}}\end{pmatrix}}$

と約束すると，例 104 の式 (5.1) は，

${\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

と表すことができる．これを Laplace 変換したものが，

$s{\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}[x]\\{\mathcal {L}}[y]\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}[x]\\{\mathcal {L}}[y]\end{pmatrix}}$

すなわち，

${\begin{pmatrix}s&1\\-1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}[x]\\{\mathcal {L}}[y]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

これを解けば，

${\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}[x]\\{\mathcal {L}}[y]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s&1\\-1&s\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {s}{s^{2}+1}}&-{\frac {1}{s^{2}+1}}\\{\frac {1}{s^{2}+1}}&{\frac {s}{s^{2}+1}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

この原像を求めると，

${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

を得る．

さらに，

(5.7)

$\int _{a}^{b}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}dt:={\begin{pmatrix}\int _{a}^{b}x(t)dt\\\int _{a}^{b}y(t)dt\end{pmatrix}}$

と定義すると，例 108 の解、式 (5.4) は，

(5.7a)

${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}=\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\cos(t-\tau )&-\sin(t-\tau )\\\sin(t-\tau )&\cos(t-\tau )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f(\tau )\\g(\tau )\end{pmatrix}}d\tau$

と表すことができる．

定義 (5.7) に従えば，${\mathcal {L}},{\mathcal {L}}^{-1}$に対しては，

${\mathcal {L}}\left[{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}[x(t)]\\{\mathcal {L}}[y(t)]\end{pmatrix}}$

${\mathcal {L}}^{-1}\left[{\begin{pmatrix}X(s)\\Y(s)\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}{\mathcal {L}}^{-1}[X(s)]\\{\mathcal {L}}^{-1}[Y(s)]\end{pmatrix}}$