例108 {\displaystyle \quad }
を解け.
これを Laplace 変換すると,
これを L [ x ] , L [ y ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[x],{\mathcal {L}}[y]} について解くと,例104 で α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } が L [ f ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[f]} と L [ g ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[g]} に代わっただけであるから,
となり,この原像
を得る.
♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例109 {\displaystyle \quad }
これは例 104 の解と例 108 の解との和である. ♢ {\displaystyle \diamondsuit }
例110 {\displaystyle \quad }
式 (5.5) を直接 Laplace 変換して解き上の事実を確かめよ.
解答例
X ⊏ x , Y ⊏ y , F ⊏ f , G ⊏ g {\displaystyle X\sqsubset x,\quad Y\sqsubset y,\quad F\sqsubset f,\quad G\sqsubset g} と置くと,
したがって,
あとは,例 104 や例 108 と解法は同じで、解 x , y {\displaystyle x,y} の s {\displaystyle s} 領域 X , Y {\displaystyle X,Y} は例 104 ・例 108 の和であり、よってLaplace 変換の線形性より、これらの原像 x , y {\displaystyle x,y} も結局この二つの問題の解の和となる.