f ( t ) {\displaystyle f(t)} と g ( t ) {\displaystyle g(t)} の Laplace 変換が存在し, a {\displaystyle a} は定数とする.このとき,
および
が成立する.これは証明するまでもなく明らかであろう.これら 2 式を一つにまとめ,記号 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} を用いて書けば,
となる.ここに a , b {\displaystyle a,b} は定数である.式 (2.2) は L {\displaystyle {\mathcal {L}}} で表される演算子が,線形演算子であることを示している.