制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/(sI-A)^-1の計算
の計算は逆行列を求める普通の計算に従えばよいのであるが、次のように計算することができる. 以下,行列 の行列式を または などで表すことにする.
式 (5.8) に見られる通り, の各要素は共通の分母として,
を持つので,各要素は の形をしている.そこで,
は行列)
とおいて を求めることを考えよう. まず と とを両辺にかけると,
となる.この両辺の係数を比較すると,
の係数:
の係数:
これより を得る.よって,
を得る.この原像は,
となって,式 (5.8) と一致する.
例112
例 105 に対して を計算せよ.
解答例
であるから,
とおいて両辺に左から をかけると,
- …①
- の項:
- の項:
より
なお,①の の項を等置すると,
より,
- …②
②は に関する Cayley–Hamilton の定理を示している.
例113
例 106 に対して を計算せよ.
解答例
であるから,
とおいて両辺に左から をかけると,
- …①
- の項:
- の項:
より
なお①の の係数を比較して,
- …②
②は に関する Cayley–Hamilton の定理を示している.