制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一つの例

一般論に入る前に，まず一つの例を与える．

(3.20)

${\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}-{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dx}{dt}}-x-0$

の解を，特に初期値を指定しないで求めてみよう． Laplace 変換すると，

$s^{3}{\mathcal {L}}[x]-x(0)s^{2}-x'(0)s-x''(0)-\{s^{2}{\mathcal {L}}[x]-x(0)s-x'(0)\}+s{\mathcal {L}}[x]-x(0)-{\mathcal {L}}[x]=0$

${\mathcal {L}}[x]$ について整理すると，

$(x^{3}-s^{2}+s^{1}){\mathcal {L}}[x]=x(0)s^{2}+\{-x(0)+x'(0)\}s+\{x(0)-x'(0)+x''(0)\}$

となる．この式の右辺は $s$ の 2 次式である．$x(0),x'(0),x''(0)$ をとくに指定しないので，一般には高々 2 次式の多項式となる． これを $q(s)$ とおこう．すると，

${\mathcal {L}}[x]={\frac {q(s)}{(s-1)(s^{2}+1)}}$

とまとまる．これを部分分数に展開すると，

$={\frac {A}{s-1}}+{\frac {Bs+C}{s^{2}+1}}$

ここで初期値を指定していないので $A,B,C$ は未定の定数である．この原像は，

(3.21)

$x(t)=Ae^{t}+B\cos t+C\sin t$

となる．すでに述べたことであるが，3 階の微分方程式は一般に 3 個の未定定数を含む． このような解を一般解と呼んでいる．“一般”という意味は $A,B,C$ を適当に選ぶことによって，どのように初期値を与えてもそれを満たす解が 式 (3.21) から作れるという意味である． そのことを確かめよう．初期値を，

$x(t_{0})=\alpha ,\quad x'(t_{0})=\beta ,\quad x''(t_{0})=\gamma$

と与えると，

(3.22)

${\begin{cases}Ae^{t_{0}}+B\cos t_{0}+C\sin t_{0}=\alpha \\Ae^{t_{0}}-B\sin t_{0}+C\cos t_{0}=\beta \\Ae^{t_{0}}-B\cos t_{0}-C\sin t_{0}=\gamma \end{cases}}$

とならなければならないが，この係数の作る行列式は

$J={\begin{vmatrix}e^{t_{0}}&\cos t_{0}&\sin t_{0}\\e^{t_{0}}&-\sin t_{0}&\cos t_{0}\\e^{t_{0}}&-\cos t_{0}&-\sin t_{0}\end{vmatrix}}$

3 行目に 1 行目を加えて，

$J={\begin{vmatrix}e^{t_{0}}&\cos t_{0}&\sin t_{0}\\e^{t_{0}}&-\sin t_{0}&\cos t_{0}\\2e^{t_{0}}&0&0\end{vmatrix}}=2e^{t_{0}}$

となり，これは $t_{0}$ がどんな値であっても，決して $0$ とはならない． よって式 (3.22) を満たす $A,B,C$ が一意に確定する．このことは，

(3.23)

$\{e^{t},\cos t,\sin t\}$

が式 (3.20) の解であって， しかも 1 次独立であることに起因する．このことの詳細は次節に示すこととし，ここでは 式 (3.23) が 1 次独立であることを示しておこう．

(3.24)

$Ae^{t}+B\cos t+C\sin t\equiv 0$

から $A=B=C=0$ を導けばよい．それにはまず 式 (3.24) に $D^{2}+1$ を作用させるとよい．このとき $\cos t$ と $\sin t$ の項は消えて，

$A(D^{2}+1)e^{t}=2Ae^{t}=0\quad \therefore A=0$

となる．次に，

$B\cos t+C\sin t\equiv 0$

において $t=0$ とおくと $B=0$ を得，ついで $C=0$ を得る． このように，3 階の線形微分方程式は常に 3 個の 1 次独立な解をもち，その 1 次結合が一般解となるのである． 一般の場合の証明も，この例とほぼ同様にして示される．

例77$\quad$

次の微分方程式の一般解を求めよ．

$x'''+x'-2x=0$

解答例

$\diamondsuit$

例78$\quad$

次の微分方程式の一般解を求めよ．

$x^{(4)}-2x'''+2x''-2x'+x=0$

解答例

$\diamondsuit$

例79$\quad$

次の微分方程式の一般解を求めよ．

$x^{(4)}+x=0$

解答例

$\diamondsuit$

例80$\quad$

一般解は Laplace 変換によらずとも，特性多項式を見れば直ちに分かる．どうしてか．

解答例

$\diamondsuit$