制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味

さて，これまでの議論は前座であり，ここからが本論となる．

前章で述べた Laplace 変換による解法を顧みて，果たして正しい解が得られているのか否かを吟味しよう． 取り扱う対象は定数係数の線形微分方程式，

(3.1)

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n}x=0$

および,

(3.2)

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n}x=f(t)$

であり，いずれも初期値，

(3.3)

$x(0)=\xi _{1},x'(0)=\xi _{2},\cdots ,x^{(n-1)}(0)=\xi _{n}$

を満たす解を求めることが問題であるとする．解法の手順は次の通りであった．

式(3.1) を初期値，式(3.3)の下に Laplace 変換すれば，

$\{s^{n}{\mathcal {L}}[x]-\xi _{1}s^{n-1}-\xi _{2}s^{n-2}-\cdots -\xi _{n}\}+a_{1}\{s^{n-1}{\mathcal {L}}[x]-\xi _{1}s^{n-2}-\cdots -\xi _{n-1}\}+\cdots +a_{n}{\mathcal {L}}[x]=0$

である．これを ${\mathcal {L}}[x]$ について解けば，

(3.4)

${\mathcal {L}}[x]={\frac {b_{1}s^{n-1}+b_{2}s^{n-2}+\cdots +b_{n}}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}$

ここに，

(3.5)

$\left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}1\\a_{1}&1&\\a_{2}&a_{1}&1&\\\vdots &&&\ddots &\\a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\xi _{1}\\\xi _{2}\\\xi _{3}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right)$

となる．同様に式(3.2)，(3.3)を Laplace 変換し ${\mathcal {L}}[x]$ を求めると，

(3.6)

${\mathcal {L}}[x]={\frac {b_{1}s^{n-1}+b_{2}s^{n-2}+\cdots +b_{n}}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}+{\frac {{\mathcal {L}}[f]}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}$

となる．そこで，

${\frac {b_{1}s^{n-1}+b_{2}s^{n-2}+\cdots +b_{n}}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}\sqsubset x_{0}(t)$

${\frac {1}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}\sqsubset g(t)$

とすると，式(3.1)，(3.3)の解は，

(3.7)

$x=x_{0}(t)$

式(3.2)，(3.3)の解は，

(3.8)

$x=x_{0}(t)+g(t)*f(t)$

となる，ということであった．ここに $*$ は合成積を表す．

これだけの議論で果たして式(3.7)，(3.8)が (3.1)，(3.3)； (3.2)，(3.3)の解であると結論することができるであろうか． それを吟味することが，この章の目的である．

吟味の詳細に入る前に，これまでで得られた結果をまとめておこう．

定理3.1$\quad$ 式(3.1)，(3.3) あるいは 式(3.3)，(3.3) の解の Laplace 変換 ${\mathcal {L}}[x]$ に対して次の事実が成り立つ．

(Ⅰ) 分母は初期値に無関係に，微分方程式の形だけで決まる．

(Ⅱ) 分子は初期値によって決まる．しかも ${\mathcal {L}}[x]$ の分子多項式

$b_{1}s^{n-1}+b_{2}s^{n-2}+b_{3}s^{n-3}+\cdots +b_{n}$

は初期値 $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\cdots \xi _{n})$ と 1:1 に対応する．

以上より，異なる初期値には異なる ${\mathcal {L}}[x]$ が対応する． $\diamondsuit$

さらに吟味を続ける．上の解法の手順を要約すると，

• 《作業 1》 解 $x(t)$ が存在すると仮定して，$X(s)={\mathcal {L}}[x(t)]$ を計算する．
• 《作業 2》 求まった $X(s)$ に対して $X(s)={\mathcal {L}}[{\tilde {x}}(t)]$ となる ${\tilde {x}}(t)$ を見つける．
• 《作業 3》 ${\tilde {x}}(t)$ が解である．

となる．この推論は正しいのであろうか．このようにまとめられると，誰しも不安を感ぜざるを得ないであろう．この不安を取り除く方法は，

• (1) ${\tilde {x}}(t)$ が解であることを直接確かめる

のが一番の良策である．さらに，

• (2) ${\tilde {x}}(t)$ 以外に解がない

ことが確かめられたらさらによい．その上，

• (3) $t_{0}\neq 0$ で初期値が与えられたときの解の見つけ方

を知っておくことも必要である．

この章では，線形定常常微分方程式論からの若干の話題を準備しながら，これらの問題の解決を与えることにしよう．

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• 微分作用素と特性方程式
• 線形性と重ね合わせの原理
• 特性多項式の構造と解の性質
• 解法の正しさの証明
• 線形定常性
• $t_{0}\neq 0$ で初期値が与えられている場合
• 初期値問題の解の一意性
• 微分不等式と比較定理
• 解の構造と一般解