制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/一般解と解の基本形

以上の議論によって，$n$ の定常線形微分方程式，

(3.27)

$p(D)x=0$

には，$n$ 個の 1 次独立な解が存在することが分かった．またその 1 組を具体的に求める方法も全章で学んだ．それをいま，

$\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t),\varphi _{3}(t),\cdots ,\varphi _{n-1}(t),\varphi _{n}(t)$

としよう．重ね合わせの原理により，その 1 次結合

(3.28)

$x(t)=A_{1}\varphi _{1}(t)+A_{2}\varphi _{2}(t)+A_{3}\varphi _{3}(t)+\cdots +A_{n-1}\varphi _{n-1}(t)+A_{n}\varphi _{n}(t)$

もまた式 (3.27) の解であることを知っている． ここでは 式 (3.28) が 式 (3.27) の一般解であること， すなわち任意の初期値，

$x(t_{0})=\xi _{1},x'(t_{0})=\xi _{2},x''(t_{0})=\xi _{3},\cdots ,x^{(n-2)}(t_{0})=\xi _{n-1},x^{(n-1)}(t_{0})=\xi _{n}$

を与えたとき，

$A_{1}\varphi _{1}(t_{0})+A_{2}\varphi _{2}(t_{0})+A_{3}\varphi _{3}(t_{0})+\cdots +A_{n-1}\varphi _{n-1}(t_{0})+A_{n}\varphi _{n}(t_{0})=\xi _{1}$

$A_{1}\varphi _{1}'(t_{0})+A_{2}\varphi _{2}'(t_{0})+A_{3}\varphi _{3}'(t_{0})+\cdots +A_{n-1}\varphi _{n-1}'(t_{0})+A_{n}\varphi _{n}'(t_{0})=\xi _{2}$

$A_{1}\varphi _{1}''(t_{0})+A_{2}\varphi _{2}''(t_{0})+A_{3}\varphi _{3}''(t_{0})+\cdots +A_{n-1}\varphi _{n-1}''(t_{0})+A_{n}\varphi _{n}''(t_{0})=\xi _{3}$

$\cdots \cdots$

$A_{1}\varphi _{1}^{(n-2)}(t_{0})+A_{2}\varphi _{2}^{(n-2)}(t_{0})+A_{3}\varphi _{3}^{(n-2)}(t_{0})+\cdots +A_{n-1}\varphi _{n-1}^{(n-2)}(t_{0})+A_{n}\varphi _{n}^{(n-2)}(t_{0})=\xi _{n-1}$

$A_{1}\varphi _{1}^{(n-1)}(t_{0})+A_{2}\varphi _{2}^{(n-1)}(t_{0})+A_{3}\varphi _{3}^{(n-1)}(t_{0})+\cdots +A_{n-1}\varphi _{n-1}^{(n-1)}(t_{0})+A_{n}\varphi _{n}^{(n-1)}(t_{0})=\xi _{n}$

が任意の $t_{0}$ と $\left\{\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\cdots ,\xi _{n-1},\xi _{n}\right\}$ に対して常に解けることを示そう．それは次の定理によって保証される．

定理 3.5

$p(D)x=0$ の 1 次独立な $n$ 個の解を，

$\left\{\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t),\varphi _{3}(t),\cdots ,\varphi _{n-1}(t),\varphi _{n}(t)\right\}$

とすると，次の行列式，

${\begin{vmatrix}\varphi _{1}(t),&\varphi _{2}(t),&\varphi _{3}(t),&\cdots ,&\varphi _{n}(t)\\\varphi _{1}'(t),&\varphi _{2}'(t),&\varphi _{3}'(t),&\cdots ,&\varphi _{n}'(t)\\\varphi _{1}''(t),&\varphi _{2}''(t),&\varphi _{3}''(t),&\cdots ,&\varphi _{n}''(t)\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\\varphi _{1}^{n-2}(t),&\varphi _{2}^{n-2}(t),&\varphi _{3}^{n-2}(t),&\cdots ,&\varphi _{n}^{n-2}(t)\\\varphi _{1}^{n-1}(t),&\varphi _{2}^{n-1}(t),&\varphi _{3}^{n-1}(t),&\cdots ,&\varphi _{n}^{n-1}(t)\end{vmatrix}}$

は決して $0$ になることはない．この行列式を Wronsky の行列式といい，

$W[\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots ,\varphi _{n}](t)$ または $W(t)$

などで表す．

証明

いまある $t_{0}$ に対して Wronsky の行列式が $0$ となったとする．このとき 1 次方程式，

$W(t_{0})\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right)=0$

には，すべては $0$ でない解が存在する．それを，

$\left\{A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\right\}$

としよう．この値を用いて

$x(t)=A_{1}\varphi _{1}(t)+A_{2}\varphi _{2}(t)+\cdots +A_{n}\varphi _{n}(t)$

を作れば，これは $p(D)x=0$ の解であって，しかも，

$x(t_{0})=x'(t_{0})=\cdots =x^{(n-1)}(t_{0})=0$

を満たす．よって解の一意性から，$x(t)\equiv 0$ でなければならない． このとき $\left\{\varphi _{1},\varphi _{2},\cdots \varphi _{n}\right\}$ の 1 次独立性から，

$A_{1}=A_{2}=\cdots =A_{n}=0$

でなければならない．これは矛盾である．

$\diamondsuit$

例81$\quad$

$\varphi _{1},\varphi _{2}$ が 1 次独立で，$W[\varphi _{1},\varphi _{2}]\equiv 0$ となる例を作れ．

解答例

$\diamondsuit$

$n$ 階の線形定常常微分方程式の任意の解は，$n$ 個の独立な解を見出せばその 1 次結合で表されることが分かった． この $n$ 個の独立な解のことを，解の基本系または基本解系という．この事実は次の定理にまとめられる．

定理 3.6

$n$ 階の線形定常常微分方程式の解の全体は，$n$ 次元ベクトル空間を作る．その基底は解の基本形である．

$\diamondsuit$