制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/非同次の場合

まず次の例から始める．

${\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}-{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dx}{dt}}-x=f(t)$

を Laplace 変換すると，

${\mathcal {L}}[x]={\frac {q(s)}{(s-1)(s^{2}+1)}}+{\frac {{\mathcal {L}}[f]}{(s-1)(s^{2}+1)}}$

ここに，$q(s)$ は高々 3 次式の多項式である．

${\frac {1}{(s-1)(s^{2}+1)}}\sqsubset {\frac {1}{2}}(e^{t}-\cos t+\sin t)$

であるから，

$x(t)=Ae^{t}+B\cos t+C\sin t+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}(e^{\tau }-\cos \tau +\sin \tau )f(t-\tau )d\tau$

となる．ここに $A,B,C$ は未知の定数である．$A,B,C$ を適当に選ぶことによって，任意の初期条件を満たす解が得られる． よってこれが一般解である．この解をみると，

非同次式の一般解 ＝ 同次式の一般解　＋　非同次式の特解

という形をとっている．この特解は，その解法からわかるように，初期値がすべて $0$ の解である． 一般に特解というのは，初期値を指定した特定の解という意味で，初期値が $0$ の解という意味ではない．一般には次の定理が成立する．

定理 3.6

非同次線形微分方程式の任意の解は，非同次式の特定の解と同次式の解の和で表される．

証明

非同次式を

(3.29)

$p(D)x=f(t)$

と書く．いま，

$\varphi (t):$ 式 (3.29) の任意の解

$\phi (t):$ 式 (3.29) の特定の解

とすると，

$p(D)\varphi (t)=f(t)$

$p(D)\phi (t)=f(t)$

が成立する．これにより，

$p(D)\left\{\varphi (t)-\phi (t)\right\}=0$

となり，

$\varphi (t)-\phi (t)=$ 同次式の解

すなわち，

$\varphi (t)=\phi (t)+$ 同次式の解

を得る．

$\diamondsuit$

例82$\quad$

以下は大学入試問題に出た． $f(t)=1+2\cos t+3\sin t$ のとき，

$Af(t)+Bf(t-C)=1$

となるように $A,B,C$ を定めよ．

$\diamondsuit$

容易に分かるように，

$\left\{1,\cos t,\sin t\right\}$

は微分方程式，

(3.30)

${\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}+{\frac {dx}{dt}}=0$

の解の基本系である．したがってそれらの 1 次結合 $f(t)$ も $f(t-C)$ も解である． それは重ね合わせの原理と定常性の原理からの帰結である． よってまた

$Af(t)+Bf(t-C)$

も解であり，これが基底の一つ $1$ に等しくなるようにせよという問題である． これは三角関数の加法定理を用いて

$A=B={\frac {1}{2}},\quad C=(2n-1)\pi$

と求まるが，実はこれには物理的背景がある． 式 (3.30) は単振動の方程式，

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=const.$

と同じである．$f(t)$ は $const.=1$ のときの解である． また ${\frac {1}{2}}f(t)$，${\frac {1}{2}}f(t-C)$ は $const.=2$ のときの解である． 振動の周期は $2\pi$ であるから，$C=\pi$（半周期）ととると $\sin ,\cos$ の項は相殺する． $C$ は $\pi$ の奇数倍でもよい．

この種の現象は実際目で見ることができる．（図：「有限時間整定応答」）

有限時間整定応答

最初 $A$ の位置に静止している振子の支点を $t=0$ で瞬間的に $B$ に移す． すると $B$ を中心として左右に振動し始める． $C$ の直下に錘がきた瞬間（$t=\pi$ の奇数倍）に支点を $B$ から $C$ に移すと，$C$ で静止する． 厳密には，この振子系は線形の微分方程式では表せないが，それでも実際にやってみると，うまく $C$ で静止するから面白い． このような現象は，線形定常常微分方程式で表される系ではいつでも実現できる． 一般的に考えると，微分方程式で表される系では，初期値が与えられると解の一意性から，特定のパターンを持った運動が持続する． そのとき，外からの操作によって，異なった初期値をもつ別のパターンの運動を実現させることができる． ある位置で静止させようと思えば，その位置にきたとき，初期条件が $0$ となるようにうまく操作すればよい． 線形定常な系では，そのような操作は常に可能であり，自動制御の分野では，一部実用に供されている．

$\diamondsuit$