例18
上の(最初の)証明から分かるように,積分順序の交換式は は必要でない.別証のアイディアは、この仮定をはずしてもいかすことができる.
どう考えたらよいか.
解答例
定積分の上限を とする.
,
にて, であることを示す.
定義域 の の領域で重積分することを考えれば
(2.4a)
式(2.4a)の左辺と を加えたものは,
また,式(2.4a)の右辺と を加えたものは,
今,積分順序の交換が可能である仮定のもとで, より,
よって,式(2.4a)より,,すなわち,
で両辺とも極限値を持てば,同じくこの等式は成立する.