制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/定義

$f(t)$ を実変数の実数値関数、$s$ を実数とするとき，

(2.1)

$F(s):=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

で定義される $s$ の関数 $F(s)$ を $f(t)$ の Laplace 変換といい，

$F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]$ または $F(s)\sqsubset f(t)$

と表す．このとき $F(s)$ を Laplace 変換の像，$f(t)$ をその原像と呼ぶ． $\diamondsuit$

一般には $f(t)$ は実変数の複素数値関数でもよく，$s$ も複素数とするが，当分，上のように実数の範囲で考えておく．

さて無限積分 式 (2.1) の意味は，もちろん

$F(s):=\lim _{T\to \infty }\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt$

であり，各 $s$ に対して右辺の極限が存在すれば，それは $s$ の関数を定義するので，それを $F(s)$ とするのである． もっとも，ここで，$f(t)$ は任意の有限区間で積分できるとしている．我々の目的は微分方程式や差分方程式を解くことにあるのだから， 多くの場合 $f(t)$ は微分可能な関数で，せいぜい区分的に連続な関数である．そのときは，この条件を満たしている．

例16$\quad$

$f(t)=1$ の Laplace 変換を求めよ．

$\int _{0}^{T}1\cdot e^{-st}dt$$=\left[-{\frac {e^{-st}}{s}}\right]_{0}^{T}={\frac {1}{s}}-{\frac {e^{-sT}}{s}}$

よって，$s>0$ ならば，

$\int _{0}^{T}1\cdot e^{-st}dt\to {\frac {1}{s}}\quad (T\to \infty )$

となるから，結局，

${\mathcal {L}}[1]={\frac {1}{s}}$ または $1\sqsupset {\frac {1}{s}}$

となる． $\diamondsuit$

例17$\quad$

$e^{\alpha t}\sqsupset {\frac {1}{s-\alpha }}\quad (s>\alpha )$

を示せ．

解答例$\quad$

$e^{\alpha t}\sqsupset \int _{0}^{\infty }e^{\alpha t}\cdot e^{-st}dt=\int _{0}^{\infty }e^{(\alpha -s)t}dt={\frac {1}{\alpha -s}}\left[e^{(\alpha -s)t}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{s-\alpha }}.\quad (s>\alpha )$

$\diamondsuit$

Laplace 積分の定義から分かる通り，$f(t)$ の $t<0$ の部分での値は積分には影響しない．

それゆえ，Heaviside の関数：

$H(t)={\begin{cases}1&(t>0)\\0&(t<0)\end{cases}}$

に対しても，

$H(t)\sqsupset {\frac {1}{s}}$

でる．したがって $t<0$ の部分も考えると，$f(t)$ と $F(s)$ とは 1 対 1 に対応しないことになる． $t<0$ の部分が関係してくる場合，たとえば $f(t-\alpha ),\alpha >0$ の Laplace 変換を考えるときなどは，

$f(t)=0\quad (t<0)$

と約束しておく．こうすると実質的に $f(t)$ と $F(s)$ は 1 対 1 に対応する． “実質的に”というのは，不連続点などの例外点を除いて、という意味である． この約束は当分必要でないが，差分方程式を取り扱うときなどに重要となる．