制御と振動の数学/Laplace 変換/定積分の計算への応用/Fresnel積分

(2.38)


これは,光学や電磁気学に現れる式である.例によって,

とおいて Laplace 変換すると,

いま とおけば,

[1]

となる.この原像を求めれば,

[2]

を得る. とおけばよい.


[3]

であるから[4]

を得る.この定積分は関数論の留数計算で求めるのが簡単である.


  1. ^ は後に説明される.
  2. ^ 公式5 の場合より,


  3. ^
  4. ^ まず を因数分解する.
    次に,
    とおいて,
    に換えて
    よって
    両辺の の係数を比較し等置すると,
    より
    より
    .
    を視野にいれてさらに変形する.
    後半部分を平方完全形とし が適用できるようにする。
    先に を求めておく. と置いて, から に積分変数を変換すると、 のとき
    よって,


例65

を示せ.

解答例

の場合と同じ方針で解く.

とおいて両辺を Laplace 変換すると,

とおいて積分変数を から に変換すると ,また,

分母

と因数分解できるから,

とおいて,

の係数を等置して,

これを解いて,