制御と振動の数学/Laplace 変換/定積分の計算への応用/Fresnel積分
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(2.38)
これは,光学や電磁気学に現れる式である.例によって,
とおいて Laplace 変換すると,
いま とおけば,
となる.この原像を求めれば,
を得る. とおけばよい.
注
であるから[4],
を得る.この定積分は関数論の留数計算で求めるのが簡単である.
- ^
は後に説明される.
- ^
公式5の の場合より,
- ^
- ^
まず を因数分解する.
- より ,
- より ,
- .
例65
を示せ.
解答例
の場合と同じ方針で解く.
とおいて両辺を Laplace 変換すると,
とおいて積分変数を から に変換すると ,また,
分母 は
と因数分解できるから,
とおいて,
の係数を等置して,
これを解いて,