制御システム/システム同定

システム

システムとは、入力を受け取り出力を生成する機器のことです。システムは、入力に作用して出力を生成するという意味で「動作します」。出力は、システム応答として知られる特定の関係によって入力と関連付けられます。システム応答は通常、数学的な関係によってシステム入力とシステム出力の間にモデル化されます。

システムの特性

物理システムは、そのシステムが示す特定の特性に応じて、さまざまなカテゴリに分類されます。システムの特性を適切に識別することで、システムに対する特定の解析や設計ツールを選択することができます。

この本の初期のセクションでは、主に線形時不変（linear time-invariant; LTI）システムに焦点を当てます。LTIシステムは、取り扱いやすいクラスのシステムであり、研究のための大きな理論基盤を持っています。この章では、いくつかのシステムの特性について説明します。

この本の後の章では、時変システムや非線形システムについても取り上げます。時変システムと非線形システムは、現在の研究分野であり、適切に解析することが難しい場合があります。残念ながら、ほとんどの物理世界のシステムは時変であり、非線形であるか、その両方です。

初期時刻

システムの初期時刻とは、入力が存在しない時間のことです。通常、システムの初期時刻はゼロと定義され、これにより解析が大幅に簡略化されます。一部の手法、例えばラプラス変換では、システムの初期時刻がゼロである必要があります。システムの初期時刻は通常、t₀で示されます。

初期時刻t₀での任意の変数の値は、添字0を使用して示されます。例えば、時刻t₀における変数xの値は次のように表されます:

$x(t_{0})=x_{0}$

また、正の添字を持つ任意の時間tは、t₀の後の時点であることを示します。例えば、t₁はt₀の後に発生し、t₂はそれらの両方の時点の後に発生します。同様に、正の添字を持つ変数もその時点で発生します:

$x(t_{1})=x_{1}$

$x(t_{2})=x_{2}$

これはすべての時点tに対して有効です。

加法性

システムが加法性を満たすとは、複数の入力の和が複数の出力の和に等しい性質を指します。定義によれば、入力$x_{3}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$が出力$y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$をもたらします。システムが加法性を満たすかどうかを判断するには、次のテストを使用します:

システムfに任意の入力xと出力yを与えると、2つの入力（x₁およびx₂）が2つの出力を生成します:

$y_{1}=f(x_{1})$

$y_{2}=f(x_{2})$

次に、前述の入力の和である合成入力を作成します:

$x_{3}=x_{1}+x_{2}$

次に、次の等式が成り立つ場合、システムが加法的であると見なされます:

$y_{3}=f(x_{3})=f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})=y_{1}+y_{2}$

この性質を満たすシステムは「加法的」と呼ばれます。加法的なシステムは、単純な入力の和を使用してより複雑な入力のシステム応答を分析するために使用されます。

例：正弦波

以下の方程式が与えられたとします:

$y(t)=\sin(3x(t))$

入力の和を作成し:

$x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$

および予想される出力の和を構築します:

$y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$

これらを元の方程式に代入し、等しさをテストします:

$y_{1}(t)+y_{2}(t)=\sin(3[x_{1}(t)+x_{2}(t)])$

等式が成立しないため、正弦関数は加法的ではありません。

斉次性

システムが斉次性を満たすとは、入力がスケーリングされた場合、出力も同じスケーリングがされる性質を指します。定義によれば、入力$ax_{1}$は出力$ay_{1}$をもたらします。関数f()が「斉次性」であるかどうかを確認するには、次のテストを実行します:

任意の入力xをシステムfに刺激し、出力yを生成します:

$y=f(x)$

次に、第二の入力x₁を作成し、それを定数C（Cは任意の定数値）でスケーリングし、対応する出力y₁を生成します:

$y_{1}=f(Cx_{1})$

次に、xをx₁に等しく設定し、定数値Δで時間シフトさせます:

$x_{1}(t)=x(t-\Delta )$

最後に、システムが斉次である場合、次の等式が成り立ちます:

$y_{1}=f(Cx)=Cf(x)=Cy$

斉次性を持つシステムは、ゲインや増幅を持つアプリケーションなど、多くのアプリケーションで有用です。

例：直線

直線の方程式が与えられたとします:

$y=f(x)=2x+3$

$y_{1}=f(Cx_{1})=2(Cx_{1})+3=C2x_{1}+3$

$x_{1}=x$

これらの結果を比較すると、等しくないことがすぐにわかります:

$y_{1}=C2x+3\neq Cy=C(2x+3)=C2x+C3$

したがって、この方程式は斉次ではありません。

演習: 加法性が斉次性を意味することを証明し、しかし斉次性が加法性を意味することはないことを証明してください。

線型性

システムは、加法性と斉次性の条件を満たす場合に「線型」であると見なされます。要するに、システムは以下の場合に線型です:

2つの任意の入力を取り、2つの任意の出力を生成します:

$y_{1}=f(x_{1})$

$y_{2}=f(x_{2})$

次に、入力の線形結合が出力の線形結合を生じる場合:

$f(Ax_{1}+Bx_{2})=f(Ax_{1})+f(Bx_{2})=Af(x_{1})+Bf(x_{2})=Ay_{1}+By_{2}$

この加法性と斉次性の条件を満たすことが「重ね合わせ」と呼ばれます。システムは、この条件を満たす場合に線型です。

例：線型微分方程式

次の方程式が線型であるかどうかは:

${\frac {dy(t)}{dt}}+y(t)=x(t)$

このシステムが線型であるかどうかを判断するには、新しい合成入力を構築します:

$x(t)=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

次に、期待される合成出力を作成します:

$y(t)=Ay_{1}(t)+By_{2}(t)$

これらを元の方程式に代入すると:

${\frac {d[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]}{dt}}+[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

微分演算子を取り出します:

${\frac {d}{dt}}[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]+[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

最後に、さまざまな合成項を変数に変換して、このシステムが線型であることを証明します:

${\frac {dy(t)}{dt}}+y(t)=x(t)$

記録のために、微分および積分は線型演算子であり、通常、常微分方程式は線型方程式です。

メモリ

システムが「メモリ」を持つとは、システムからの出力が過去の入力（または将来の入力！）に依存する場合のことを指します。出力が現在の入力にのみ依存する場合、システムは「メモリレス」であると言います。メモリレスなシステムは扱いやすいですが、メモリを持つシステムはデジタル信号処理アプリケーションでより一般的です。 メモリを持つシステムは「動的」システムと呼ばれ、メモリを持たないシステムは「静的」システムと呼ばれます。

因果律

因果律は、メモリと非常に類似した性質です。システムが「因果律」である場合、そのシステムは過去および/または現在の入力にのみ依存します。システムが「反因果律」である場合、システムの出力は将来の入力のみに依存します。システムが「非因果律」である場合、出力は過去および/または現在および将来の入力に依存します。

時不変性

システムが「時不変」である場合、入出力信号間のシステムの関係は時間の経過に依存しません。もし入力信号$x(t)$が出力$y(t)$を生成する場合、任意の時間シフトされた入力、$x(t+\delta )$は時間シフトされた出力$y(t+\delta )$を結果として生じます。この特性は、システムの転送関数が入出力を除いて時間の関数ではない場合に満たされます。 システムが時不変であれば、システムブロックは任意の遅延と可換です。時不変システムのこの側面については後で議論します。

システムfが時不変であるかどうかを判断するには、次のテストを実行します:

任意の入力xをシステムに適用し、任意の出力yを生成します:

$y(t)=f(x(t))$

2番目の入力x₁をシステムに適用し、2番目の出力を生成します:

$y_{1}(t)=f(x_{1}(t))$

次に、x₁を最初の入力xと等しく設定し、一定の定数値δで時間シフトさせます:

$x_{1}(t)=x(t-\delta )$

最後に、システムが時不変であれば、y₁が同じ値δでシフトされたyに等しいはずです:

$y_{1}(t)=y(t-\delta )$

LTIシステム

システムが「線形時不変」（LTI）であるとは、システムが時不変性と線形性の要件を満たす場合のことを指します。LTIシステムは、最も重要なシステムのタイプの1つであり、この本の初めの章でほぼ常に扱われます。LTIシステムは、その出力を時間tの関数として定義される、時間tの入力信号の線形結合として計算できます。LTIシステムは、線形微分方程式や線形差分方程式などの線形微分方程式で表すことができます。

LTIシステムの特性は、入力と出力の関係を定義するシステムの応答に基づいています。LTIシステムの応答は、畳み込み積分によって入力信号とシステム応答の積から計算できます。

例：LTIシステムのインパルス応答

LTIシステムのインパルス応答を求める手順は次の通りです:

1. システムにデルタ関数（インパルス関数）を入力します。
2. 出力がシステムのインパルス応答と等しくなるように、システムの応答を記録します。

LTIシステムのインパルス応答がわかれば、任意の入力信号に対するシステムの出力を計算することができます。

結論

この章では、システムの特性について説明しました。これらの特性は、システムがどのように動作するかを理解し、システムを分析および設計するための基礎となります。加法性、斉次性、線型性、メモリ、因果律、時不変性、およびLTIシステムに焦点を当てました。これらの特性を理解することは、システムの動作を正確にモデル化し、適切な制御および信号処理手法を開発するための重要なステップです。