数学演習/数学III/微分法

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本項は高等学校数学III 微分法の演習用問題を提供する。 解答はこちら

微分法

微分係数と導関数

〔1〕　次の関数$f(x)$の導関数を定義に従って求めよ。

(1) $f(x)=x^{2}+1$

(2) $f(x)={\frac {2}{x}}$

(3) $f(x)={\sqrt {x}}$

〔2〕　関数$f(x)=|x+1|$ は $x=-1$で微分可能でないことを示せ。

微分の計算の基本

主な対応項目「高等学校数学III 微分法#関数の和、差、積、商の導関数」

次の関数$f(x)$の導関数を求めよ。

(1) $f(x)=x^{4}+2x^{3}-5x^{2}+3x+2$

(2) $f(x)=(x^{2}+3)(4x+2)$

(3) $f(x)={\frac {3x^{2}+1}{x+2}}$

(4) $f(x)=(2x+7)^{5}$

(5) $f(x)={\frac {1}{(2x+7)^{5}}}$

色々な微分の計算

主な対応項目「高等学校数学III 微分法#三角関数,指数関数,対数関数の導関数」

次の関数$f(x)$の導関数を求めよ。ただし対数の底は自然対数とする。

(1) $f(x)=\sin(x^{2}-3)$

(2) $f(x)=\cos({\sqrt {4x-3}})$

(3) $f(x)=\sin \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)$

(4) $f(x)=\log {x^{2}}$

(5) $f(x)=\log {(\sin x)}$

(6) $f(x)={\frac {(x-3)^{5}}{\sqrt[{3}]{2x+5}}}$

(7) $f(x)=e^{2x+1}$

(8) $f(x)=2^{x^{2}}$

(9) $f(x)={\frac {x^{2}}{\log {x}}}$

(10) $f(x)=\log {\sqrt {\frac {2x^{2}-1}{2x+1}}}$

第n次導関数

主な対応項目「高等学校数学III 微分法#高次導関数」

〔1〕　次の関数$f(x)$を第3次までの導関数を求めよ。

(1) $f(x)=5x^{4}-4x^{3}+2x^{2}$

(2) $f(x)=x\sin x$

(3)$f(x)={\frac {x^{2}+1}{x+1}}$

陰関数の導関数

次の方程式で定められる$x$の関数$y$について、${\frac {dy}{dx}}$を求めよ。

(1) $y^{2}=4x$

(2) ${\frac {x^{2}}{16}}+{\frac {y^{2}}{9}}=1$

(3) $x^{2}+4xy+y^{2}=0$