数学演習/数学III/微分法/解答

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本項は数学演習/数学III/微分法の解答を示す。

微分法

微分係数と導関数

〔1〕導関数の定義$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$を用いる。

(1) $\lim _{h\to 0}{\frac {\{(x+h)^{2}+1\}-(x^{2}+1)}{h}}=\lim _{h\to 0}(2x+h)=2x$

(2) $\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {2}{x+h}}-{\frac {2}{x}}}{h}}=\lim _{h\to 0}-{\frac {2}{x^{2}+hx}}=-{\frac {2}{x^{2}}}$

(3) $\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

〔2〕　まず、関数$f(x)=|x+1|$ は $x=-1$で連続である。一方、

${\frac {f(-1+h)-f(-1)}{h}}={\frac {|h|}{h}}$より、

$\lim _{h\to +0}{\frac {|h|}{h}}=1$、$\lim _{h\to -0}{\frac {|h|}{h}}=-1$

この2式は等しくないので、$\lim _{h\to 0}{\frac {f(-1+h)-f(-1)}{h}}$、すなわち、$x=-1$における微分係数は存在しない。故に、示された。

微分の計算の基本

(1)は数学IIの復習、(2)は積の微分、(3)は商の微分、(4)・(5)は合成関数の微分である。

(1) $f'(x)=4x^{3}+6x^{2}-10x+3$

(2) $f'(x)=2x(4x+2)+(x^{2}+3)\cdot 4=12x^{2}+4x+12$

(3) $f'(x)={\frac {6x(x+2)-(3x^{2}+1)}{(x+2)^{2}}}={\frac {3x^{2}+12x-1}{(x+2)^{2}}}$

(4) $f'(x)=5(2x+7)^{4}\cdot (2x+7)'=10(2x+7)^{4}$

(5) $f'(x)=-5\cdot {\frac {2}{(2x+7)^{6}}}=-{\frac {10}{(2x+7)^{6}}}$

色々な微分の計算

(6)は対数微分法を用いた方が圧倒的に速い（商の微分でも出来ないことはないがかなり面倒）。

(1) $f'(x)=\cos(x^{2}-3)\cdot (x^{2}-3)'=2x\cos(x^{2}-3)$

(2) $f'(x)=-\sin({\sqrt {4x-3}})\cdot ({\sqrt {4x-3}})'=-{\frac {2\sin({\sqrt {4x-3}})}{\sqrt {4x-3}}}$

(3) $f'(x)=\cos \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)$

(4) $f(x)=2\log |x|$なので、$f'(x)={\frac {2}{x}}$

(5) $f'(x)={\frac {(\sin x)'}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}$

(6) 両辺の対数をとると、$\log f(x)=5\log {(x-3)}-{\frac {1}{3}}\log {(2x+5)}$

そして両辺を$x$で微分すると、${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {5}{x-3}}-{\frac {2}{3(2x+5)}}={\frac {28x+81}{3(x-3)(2x+5)}}$

したがって、$f'(x)={\frac {28x+81}{3(x-3)(2x+5)}}\cdot {\frac {(x-3)^{5}}{\sqrt[{3}]{2x+5}}}={\frac {(x-3)^{4}(28x+81)}{3(2x+5){\sqrt[{3}]{2x+5}}}}$

(7) $f'(x)=(2x+1)'e^{2x+1}=2e^{2x+1}$

(8) $f'(x)=(x^{2})'2^{x^{2}}\log 2=2^{x^{2}+1}x\log 2$

(9) $f'(x)={\frac {2x\log x-x^{2}\cdot {\frac {1}{x}}}{(\log x)^{2}}}={\frac {(2\log x-1)x}{(\log x)^{2}}}$

(10) $f(x)={\frac {1}{2}}(\log |2x^{2}-1|-\log |2x+1|)$なので、$f'(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {4x}{2x^{2}-1}}-{\frac {2}{2x+1}}\right)={\frac {2x}{2x^{2}-1}}-{\frac {1}{2x+1}}={\frac {2x^{2}+2x+1}{(2x^{2}-1)(2x+1)}}$

第n次導関数

1つずつ微分していく。

(1) $f'(x)=20x^{3}-12x^{2}+4x$

$f''(x)=60x^{2}-24x+4$

$f'''(x)=120x-24$

(2) $f'(x)=\sin x+x\cos x$

$f''(x)=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x$

$f'''(x)=-2\sin x-\sin x-x\cos x=-3\sin x-x\cos x$

(3) $f'(x)={\frac {2x\cdot (x+1)-(x^{2}+1)\cdot 1}{(x+1)^{2}}}={\frac {x^{2}+2x-1}{(x+1)^{2}}}={\frac {(x+1)^{2}-2}{(x+1)^{2}}}=1-{\frac {2}{(x+1)^{2}}}$

$f''(x)=(1-2(x+1)^{-2})'={\frac {4}{(x+1)^{3}}}$

$f'''(x)=(4(x+1)^{-3})'=-{\frac {12}{(x+1)^{4}}}$

陰関数の導関数

(1) $2y{\frac {dy}{dx}}=4$より、${\frac {dy}{dx}}={\frac {2}{y}}$

(2) ${\frac {x}{8}}+{\frac {2}{9}}y{\frac {dy}{dx}}=0$より、${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {9x}{16y}}$

(3) $2x+4y+4x{\frac {dy}{dx}}+2y{\frac {dy}{dx}}=0$より、$x+2y+(2x+y){\frac {dy}{dx}}=0$なので、${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x+2y}{2x+y}}$