「線形代数学/余因子行列」の版間の差分
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M →余因子展開 |
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17 行
'''証明'''
:<math>|A| =
a_{1,1} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,n}
\end{
である、ここで、行列Aのi列目<math>\begin{pmatrix} a_{1,j} \\ a_{2,j} \\ \vdots \\ a_{n,j} \end{pmatrix}</math>は、
<math>a_{1,j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2,j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{n,j} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} </math>と表すことができるので、
(1)式は、
<math>
</math>と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、
<math>
a_{1,j}
a_{2,j}
a_{n,j}
</math>
である。
ここで、<math>
a_{1,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n} \\
a_{2,1} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2,n} \\
42 行
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,n}
\end{
この行列のi行目と、i-1行目を入れ替る。i-1行目と、i-2行目を入れ替える。・・・と、続けていくと、次のような行列になる。
<math> (-1)^{i-1}
a_{i,1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{i,n} \\
a_{1,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n} \\
54 行
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n,1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,n}
\end{
</math>
60 行
次に、同じように、j列目と、j-1列目を入れ替える。j-1列目と、j-2列目を入れ替える。・・・という操作をする。すると、次のような行列になる。<br>
<math> (-1)^{i+j}
1 & a_{i,1} & \cdots & a_{i,j-1}& a_{i,j+1}& \cdots & a_{i,n} \\
0 & a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1}&a_{1,j+1}& \cdots & a_{1,n} \\
69 行
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots& a_{n,n}
\end{
</math>
(-1)<sup>i+j-2</sup>=(-1)<sup>i+j</sup>であることについての説明は不要であろう。
これを、行列式の定義に従って展開する。
一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。
なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、<math>|A_{i,j}|</math>と一致する。
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