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==余因子行列==
===余因子===
ある正方行列<math>A </math>に対して、 行列の<math>i</math>行目と<math>j</math>列目を取り除いて得られる行列を<math>A_{i,jij}</math>と表す。このとき、
<math>\tilde a_{i,jij} = (-1)^{i+j} | A_{i,jij} |</math>
を<math>A</math>の<math>(i,j)</math>'''余因子'''という。
;例
<math>\begin{pmatrix}
5 & 0 & 8 \\
1 & 9 & 3 \\
7 & 5 & 2
\end{pmatrix}</math>
の<math>(2,2)</math>余因子は、<math>(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} = -46</math>である。
===余因子展開===
次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。
<math>|A| = a_{j,1j1} \tilde a_{j,1j1} + a_{j,2j2} \tilde a_{j,2j2} + \cdots + a_{j,njn} \tilde a_{jn} (1 \le j, \le n} )</math><br>
<math>|A| = a_{1,i1i} \tilde a_{1,i1i} + a_{2,i2i} \tilde a_{2,i2i} + \cdots + a_{n,ini} \tilde a_{n,ini} (1\le i \le n)</math>
ただし、<math>A</math>は<math>n</math>次正方行列である。
これを、'''余因子展開'''という。
'''証明'''
<math>A = \begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}</math>
とする、このとき、
:<math>|A| = \begin{vmatrix}
a_{1,111} & \cdots & a_{1,j1j} & \cdots & a_{1,n1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1n1} & \cdots & a_{n,jnj} & \cdots & a_{n,nnn}
\end{vmatrix} \cdots (1)</math>
である、ここで、行列<math>A</math>のi<math>j</math>列目<math>\begin{pmatrix} a_{1,j1j} \\ a_{2,j2j} \\ \vdots \\ a_{n,jnj} \end{pmatrix}</math>は、
<math>a_{1,j1j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2,j2j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{n,jnj} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} </math>と表すことができるので、
(1)式は、
<math>
\left| \mathbfbegin{pmatrix} a_1a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix}, \cdots, a_{1,j1j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2,j2j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{n,jnj} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}, \cdots, \mathbfbegin{pmatrix}a_{n1} a_n\\ a_{n2} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{pmatrix} \right|
</math>と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、
<math>
a_{1,j1j} \begin{vmatrix} a_{1,111} & \cdots & 1 &\cdots& a_{1,n1n} \\ a_{2,121} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2,n2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,nnn} \end{vmatrix} +
a_{2,j2j} \begin{vmatrix} a_{1,111} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n1n} \\ a_{2,121} & \cdots & 1 & \cdots & a_{2,n2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,nnn} \end{vmatrix} + \cdots +
a_{n,jnj} \begin{vmatrix} a_{1,111} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n1n} \\ a_{2,121} & \cdots & 0 & \cdots & a_{2,n2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1n1} & \cdots & 1 &\cdots& a_{n,nnn} \end{vmatrix} \cdots (2)
</math>
である。
ここで、<math>\begin{vmatrix}
a_{1,111} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n1n} \\
a_{2,121} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2,n2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i,1i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{i,nin} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,nnn}
\end{vmatrix}</math>について考える。
この行列の<math>i</math>行目と、<math>i-1</math>行目を入れ替る。<math>i-1</math>行目と、<math>i-2</math>行目を入れ替える。・・・<math>2</math>行目と、続けて<math>1</math>行目を入れ替える。といくう操作をすると、次のような行列になる。
<math> (-1)^{i-1} \begin{vmatrix}
a_{i,1i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{i,nin} \\
a_{1,111} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1,n1n} \\
a_{2,121} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2,n2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i-1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i-1,n} \\
a_{i+1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i+1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n,1n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{n,nnn}
\end{vmatrix}
</math>
行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は<math>-１1</math>倍されるのだった。この操作では、<math>i-1</math>回の入れ替えを行うので、この式は、<math>(-1)<sup>^{i-1}</supmath>倍すされている。
次に、同じように、 <math>j </math>列目と、 <math>j-1 </math>列目を入れ替える。 <math>j-1 </math>列目と、 <math>j-2 </math>列目を入れ替える。・・・ <math>2</math>列目と、<math>1</math>列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。<br> ▼
▲次に、同じように、j列目と、j-1列目を入れ替える。j-1列目と、j-2列目を入れ替える。・・・という操作をする。すると、次のような行列になる。<br>
<math> (-1)^{i+j} \begin{vmatrix}
1 & a_{i,1i1} & \cdots & a_{i,j-1}& a_{i,j+1}& \cdots & a_{i,nin} \\
0 & a_{1,111} & \cdots & a_{1,j-1}&a_{1,j+1}& \cdots & a_{1,n1n} \\
0 & a_{1,212} & \cdots & a_{2,j-1}&a_{2,j+1}& \cdots & a_{2,n2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n} \\
0 & a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & a_{n,1n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots& a_{n,nnn}
\end{vmatrix}
</math>
<math>(-1)<sup>^{i+j-2</sup>}=(-1)<sup>^{i+j}</supmath>であることについての説明は不要であろう。
これを、行列式の定義に従って展開する。
一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。
なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、<math>|A_{i,j}|</math>と一致する。
よって、この行列式は、<math>(-1)^{i+j} |A_{i,jij}| = \tilde a_{i,jij}</math>である。
これを、(2)式に代入すれば、<math>|A| = a_{j,1j1} \tilde a_{j,1j1} + a_{j,2j2} \tilde a_{j,2j2} + \cdots + a_{j,njn} \tilde a_{j,njn}</math>となり、証明された。
これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。
'''証明'''
<math>\tilde A A = \begin{pmatrix} \tilde a_{1,111} & \cdots & \tilde a_{m,1m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde a_{1,n1n} & \cdots & \tilde a_{m,nmn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{1,111} & \cdots & a_{1,n1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1n1} & \cdots & a_{m,nmn} \end{pmatrix}</math>なので、
行列<math>\tilde A A</math>の<math>(i,j)</math>成分は、
<math>a_{1,i1i} \tilde a_{1,j1j} + a_{2,i2i} \tilde a_{2,j2j} + \cdots + a_{n,ini} \tilde a_{n,jnj} \cdots (1)</math>である。
(i)<math>i=j</math>のとき
:(1)式は、行列<math>A</math>の<math>i</math>列目に関して余因子展開をした式と一致するので、(1)式は<math>i=j</math>のとき、<math>|A|</math>である。<br>
(ii)i≠j<math>i\neq j</math>のとき
:行列<math>A</math>の<math>i</math>列目が行列<math>A</math>の<math>j</math>列目になっている行列の行列式について考える。この行列式は以下のようになる。<br>
:<math>
\begin{vmatrix}
a_{1,111} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,j1j} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,j1j} & \cdots & a_{1,n1n} \\
a_{2,121} & \cdots & a_{2,i-1} & a_{2,j2j} & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2,j2j} & \cdots & a_{2,n2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1n1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{n,jnj} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,jnj} & \cdots & a_{n,nnn} \\
\end{vmatrix}
</math>
:この行列のi列目について、余因子展開を行うと、(1)式と一致する。
:同じ列がある行列の行列式は0になるのだった。なので、(1)式は、i≠j<math>i\neq j</math>のとき、0である。 <br>
まとめると、<math>a_{1,i1i} \tilde a_{1,j1j} + a_{2,i2i} \tilde a_{2,j2j} + \cdots + a_{n,ini} \tilde a_{n,jnj} =
\begin{cases}
|A| (i=j) \\
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