「高等学校数学II/三角関数」の版間の差分
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377 行
;積→和の公式
:<math>\begin{align}
\sin \alpha \cos \beta &= \frac 1 2
\cos \alpha \sin \beta &= \frac 1 2
\cos \alpha \cos \beta &= \frac 1 2
\sin \alpha \sin \beta &= -\frac 1 2
\end{align}</math>
;和→積の公式
:<math>\begin{align}
\sin A + \sin B &= 2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\sin A - \sin B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\cos A + \cos B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\cos A - \cos B &= -2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)
\end{align}</math>
となる。
415 行
<math>A = \alpha + \beta,\, B = \alpha-\beta</math> とおくと、 <math>\alpha = \frac{A+B}{2},\, \beta = \frac{A-B}{2}</math> である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ
:<math>\begin{align}
\sin A + \sin B &= 2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\sin A - \sin B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\cos A + \cos B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\
\cos A - \cos B &= -2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)
\end{align}</math>
が得られる。
515 行
ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい)
複素数に拡張した指数関数、三角関数では <math>e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta</math>
という関係式が成り立つ。ただし、<math>e</math> はネイピア数で <math>e \approx 2.7</math> である。ここで、 <math>\theta</math> に <math>\pi</math> を代入すると
<math>e^{i\pi}+1=0</math>となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。
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