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296 行とまとめられる。かっこの中身は今得たa = -3 を用いている。更に、<math> a_n + 3</math> を１つの数列としてみると、この数列は、等比数列になっている。これを用いれば、<math>a_n</math>が求められるわけである。特に、<math> a_1 = 0</math>とすると、 :<math> a_n + 3 = (a_1 + 3 ) 2^{n-1} </math> :<math> a_n = (a_1 + 3 ) 2^{n-1} -3 </math> :<math> a_n = 3 \cdot 2^{n-1} -3 </math> となり元の漸化式に対する数列が得られた。 497 行 </math>に関する漸化式を解くと、 :<math> b _n = \frac 1 4 + (-4a + \frac 3 4 ) (-3) ^{n-1} </math> が得られる。ここで、 513 行 + \sum _{k=1} ^{n-1} (\frac 1 4 - 4 (a - \frac 3 {16} )( -3) ^ {k-1 }) </math> :<math> =a + \frac {n-1} 4 - 4 (a - \frac 3 {16} ) \frac {1 - (-3) ^{n-1} } { 1 - (-3) } </math> :<math> = \frac {n-1} {4} + \frac 3 {16} + (a - \frac 3 {16} ) (-3) ^{n-1} </math> が得られる。 527 行 :<math> a_n=\frac {n-1} {4} + \frac 3 {16} + (a - \frac 3 {16} ) (-3) ^{n-1} </math> (ⅱ) <!-- (a-2/5)(-3)^n-1+2^n/5 --> 左辺は既に見た漸化式と同じ形であるが右辺に<math>a^n</math>(aは実数)が加わった点が異なる場合である。この場合にはまず最初に両辺を<math>a^n</math>で割るとよい。このとき、上の式は :<math> \frac {a _{n+1} } {2^n} + \frac 3 2 \frac {a _n } {2 ^{n-1} } = 1 </math> となる。更に<math>b _n = \frac {a _n} {2^{n-1} } </math>の置き換えをすると、漸化式 :<math> b _{n+1} + \frac 3 2 b _n = 1 </math> が得られるがこれは既に扱った漸化式である。この式は :<math> b _{n+1} - \frac 2 5 = - \frac 3 2 (b _n - \frac 2 5) </math> となり :<math> b _ n - \frac 2 5 = (b _1 - \frac 2 5) (- \frac 3 2) ^{n-1} </math> が得られる。<math>b _n = \frac {a _n} {2^{n-1} }</math>を用いると <math>b _1 = a _1 = a</math> が得られるので、これを用いて :<math> b _n - \frac 2 5 = (a - \frac 2 5) (- \frac 3 2) ^{n-1} </math> :<math> b _n = (a - \frac 2 5) (- \frac 3 2) ^{n-1} + \frac 2 5 </math> が得られるが、この式から<math>a _n = 2^{n-1} b _n</math>は、 :<math> a _n = (-3)^{n-1} (a - \frac 2 5) + \frac 1 5 2^n </math> となる。 <!-- a _1 = aのとき a _1 = (a - \frac 2 5) + \frac 2 5 = a a _2 = (-3)(a - \frac 2 5) + \frac 4 5 = -3a +2 a _3 = 9(a - \frac 2 5) + \frac 8 5 = 9a - 2 --> ====数学的帰納法====

「高等学校数学B/数列」の版間の差分