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「解析学基礎/微分２」の版間の差分

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===積の微分と商の微分===
さらに複雑な関数の微分について学びます。
 
When we wish to differentiate a more complicated expression such as:
:<math>h(x) = (x^2+5)^5 \cdot (x^3 + 2)^3</math>
この関数の微分を計算するために展開して、多項式の微分を行うこともできますが、計算が大変になります。そこでこの関数を''f''(''x'') = (''x''<sup>2</sup>+5)<sup>5</sup>と''g''(''x'') = (x<sup>3</sup> + 2)<sup>3</sup>の積と見て次の公式を使うことにより、遙かに簡単に計算することができます。
our only resort (so far) is to expand and get a messy polynomial, and then differentiate the polynomial. This can get very ugly very quickly and is particularly error prone when doing such calculations by hand. It would be nice if we could just take the derivative of ''h''(x) using just the functions ''f''(''x'') = (''x''<sup>2</sup>+5)<sup>5</sup> and ''g''(''x'') = (x<sup>3</sup> + 2)<sup>3</sup> and their derivatives.
 
 
<table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top>
<center>'''Derivatives of products (Product rule)積の微分の公式'''<br>
<math>\frac{d}{dx}\left[ f(x) \cdot g(x) \right] = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)\,\!</math><br>
</center></td></tr></table>
 
以下、この公式を導関数の定義に戻って証明します。
Proving this rule is relatively straightforward, first let us state the equation for the derivative:
 
:<math>\frac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h)\cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x)}{h}</math>
 
ここで、相殺する項を付け加えるという使い古された手法を用います。
We will then apply one of the oldest tricks in the book--adding a term that cancels itself out to the middle:
 
 
:<math>\frac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h)\cdot g(x+h) \mathbf{- f(x) \cdot g(x+h) + f(x) \cdot g(x+h)} - f(x) \cdot g(x)}{h}</math>
 
加えた項は、差し引きして 0 になることに注意してください。
Notice that those terms sum to zero, and so all we have done is add 0 to the equation.
 
右辺を二つの分数に分けます。
Now we can split the equation up into forms that we already know how to solve:
 
:<math>\frac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{ f(x+h)\cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x+h) }{h} + \frac{f(x) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x)}{h} \right]</math>
 
それぞれの分子は、共通の因子でくくれます。
Looking at this, we see that we can separate the common terms out of the numerators to get:
 
:<math>\frac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = \lim_{h \to 0} \left[ g(x+h) \frac{ f(x+h) - f(x) }{h} + f(x) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right]</math>
 
ここで極限を取ってみると
Which, when we take the limit, turns into:
 
:<math>\frac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)</math>, or the mnemonic "one D-two plus two D-one"
となり公式が示せました。
 
3つの関数の積であれば
: <math>\frac{d}{dx}[fgh] = f(x) g(x) h'(x) + f(x) g'(x) h(x) + f'(x) g(x) h(x) \,</math>▼
となります。いくつの関数の積であっても、2つの時の積の微分を繰り返し使う事により、同じような公式を導くことができます。
 
This can be extended to 3 functions:
▲: <math>\frac{d}{dx}[fgh] = f(x) g(x) h'(x) + f(x) g'(x) h(x) + f'(x) g(x) h(x) \,</math>
For any number of functions, the derivative of their product is the sum, for each function, of its derivative times each other function.
 
 
For quotients, where one function is divided by another function, the equation is more complicated but it is simply a special case of the product rule.
 
次は、商の微分を考えます。関数の商は
:<math>\frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot g(x)^{-1}</math>
と見る事ができ、この右辺は、関数同士の積と見る事ができますので、商の微分は、積の微分の特別な場合と見る事ができます。
 
積の微分と合成関数の微分とべき乗関数の微分を使って、商の微分を計算してみます。
Then we can just use the product rule and the chain rule:
 
:<math>\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = f'(x) \cdot g(x)^{-1} - f(x) \cdot g'(x) \cdot g(x)^{-2}</math>
 
ここで、負の次数の部分を再び分数の表現に戻します。
We can then multiply through by 1, or more precisely: ''g''(''x'')<sup>2</sup> / ''g''(''x'')<sup>2</sup>, which cancels out into 1, to get:
 
:<math>\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) \cdot g(x)}{g(x)^2} - \frac{ f(x) \cdot g'(x) }{g(x)^{2}}</math>
 
これで、'''商の微分'''と呼ばれる公式が得られました。
This leads us to the so-called "quotient rule":
 
<table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top>
<center>'''Derivatives of quotients (Quotient Rule)商の微分の公式'''<br>
<math> \frac{d}{dx} \left[{f(x)\over g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\,\!</math><br>
</center></td></tr></table>
 
覚えるのは少し大変かもしれません。分子が引き算になることに注意しましょう。
Which some people remember with the mnemonic "low D-high minus high D-low over the square of what's below."
 
<!-- need proofs of product rule, quotient rule, and monomial rule -->
 
'''注意''': 足し算や引き算、或いは定数倍の時は、微分と計算順序を入れ替えることができました。足し算を先に行い微分しても、微分してから足し算をしても同じでした。しかし、積や商の時は微分と計算順序を入れ替えることは'''できない'''ことに注意してください。
Remember: the derivative of a product/quotient '''is not''' the product/quotient of the derivatives. (That is, differentiation does not distribute over multiplication or division.)
However one can distribute before taking the derivative. That is <math>\frac{d}{dx}\left((a+b)\times(c+d)\right) \equiv \frac{d}{dx}\left(ac+ad+bc+bd)\right) </math>
 
===指数関数の微分===
"https://ja.wikibooks.org/wiki/解析学基礎/微分２" より作成