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==はじめに==
電磁気学がからんでくる現象は数多いが、
これらの現象のうちの多くは
次の2つの方程式によって記述される。
ガウス単位系では、
<math>
\partial ^\mu F _{\mu\nu} = 4\pi J _\mu
</math>
<math>
F _{\mu\nu.\rho}+ F _{\rho\mu.\nu}+F _{\nu\rho.\mu}= 0
</math>
ここで、
<math>
F _{\mu\nu} = \partial _\mu A _\nu -\partial _\nu A _\mu
</math>
<math>
=
\begin{pmatrix}
0 &E _x&E _y&E _z\\
- E _x&0&-B _z& B _y\\
- E _y&B _z&0&-B _x\\
- E _z&-B _y&B _x&0\\
\end{pmatrix}
</math>
でありまた、
<math>
J _\mu =
\begin{pmatrix}
\rho \\
\vec j \\
\end{pmatrix}
</math>
である。
更に、
<math>
A _{, \mu} = \partial _\mu A = \frac {\partial {}}{\partial {x^\mu} } A
</math>
(Aは、<math>x^\mu = t,x,y,z</math>のある関数。)
となる。
note:
実際には現在ではほとんどの分野で、古くなっているGauss単位系ではなく、
SI単位系が用いられている。(特に工学の分野ではそうであるようである。)
ただし、特殊相対論と組み合わせた
電磁気現象を見るぶんには、Gauss単位系でもそれほど不自由がないので、
こちらを用いている。
ここではこれらの式がどの様に書かれるかを見ていく。
==Gaussの法則==
</math>
<math>
= \frac 1 {\epsilon _0} \iiint d V \rho
</math>
</math>
となり、確かに現象と一致する。
==単極磁子は存在しない。==
上で、ある電荷があるとその回りに放射状の電界が生じることを
述べたが、磁場についてはその様な対応物、つまり磁荷が存在しないことが
実験的に知られている。
(一般的な磁石はS極とN極が対になっているので磁荷と呼ぶことはできない。)
このことを用いて電荷の場合と同じ計算をすると
<math>
\iint d\vec S \vec B
</math>
<math>
=\iiint dV \textrm{div} \vec B
</math>
<math>
= 0
</math>
(これは磁荷密度が常に0であることによる。)
上と同様にガウスの定理を用いて書き換えると、
<math>
\textrm {div}\vec B = 0
</math>
が成り立つことが分る。
ここで、
<math>
F _{\mu\nu.\rho}+ F _{\rho\mu.\nu}+F _{\nu\rho.\mu}= 0
</math>
で、<math>\mu = 1,
\nu=2,
\rho=3</math> と選ぶと、
<math>
\textrm{lhs }= \partial _z B _z + \partial _y B _y + \partial _x B _x
</math>
<math>
= \textrm{div } \vec B
</math>
<math>
= rhs = 0
</math>
となり確かに式が現象を説明することがわかる。
(この結果は、ガウス単位系でもSI単位系でも同一である。)
==電磁誘導==
磁場の時間変化が電場を引き起こすという法則が
レンツの法則として、知られている。
<math>
\vec E = - \frac 1 {2\pi a} \frac {\partial \Phi}{\partial t }
</math>
(SI単位系での式)
これは円形のコイル(半径a)を使ったときの表式であるが、
そうでないときに一般化すると、
<math>
2\pi a \vec E = - \frac {\partial \Phi}{\partial t }
</math> ,
<math>
\int d\vec l \cdot \vec E = -\frac {\partial \Phi}{\partial t }
</math>
<math>
=- \frac {\partial {}}{\partial t}\iint dS \vec n\cdot \vec B
</math>
ストークスの定理を用いて書き変えると、
<math>
\int d\vec l \vec E = \iint dS \vec n \cdot \textrm{rot } \vec E
</math>
よって、
<math>
\textrm {rot} \vec E = - \frac {\partial \vec B}{ \partial t }
</math>
が従う。
Gauss単位系では
<math>
\textrm {rot} \vec E = - \frac 1 c \frac {\partial {\vec B }}{\partial t }
</math>
となる。
ここで、
<math>
F _{\mu\nu.\rho}+ F _{\rho\mu.\nu}+F _{\nu\rho.\mu}= 0
</math>
で例えば、<math>\mu=0,
\nu=1,
\rho=2</math>と置くと、
<math>
\textrm{lhs} = \partial _y E _x + \partial _x (-E _y) - \partial _t B _z
</math>
<math>
= - \textrm{rot} \vec E | _z - \frac {\partial {}}{\partial t B _z }
</math>
<math>
= \textrm {rhs} = 0
</math>
となり、上で現象から得られた式のz成分と一致する。
x成分、y成分はそれぞれ
<math>\mu=0,
\nu=2,
\rho=3</math>,<math>\mu=0,
\nu=3,
\rho=1</math>と置くと求めることが出来る。
よってこの場合も式が現象を説明することが
わかる。
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