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「高等学校数学III/微分法」の版間の差分

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→‎合成関数の導関数: 逆関数の導関数追加
207 行
 
===三角関数,指数関数,対数関数の導関数===
 
====三角関数の導関数====
 
*<math>(\sin x )' = \cos x</math>
<math>
*<math>(\sincos x )' = -\cossin x</math>
*<math>(\tan x )' = 1 / \cos^2 x</math>
</math>
<math>
(\cos x )' = -\sin x
</math>
<math>
(\tan x )' = 1 / \cos^2 x
</math>
となる。
 
 
導出
232 ⟶ 224行目:
-->
 
*<math>\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sin (h/2)} {(h/2)} = 1</math>
<math>
*加法定理<math>\sin(a+b)= \sin a \cos b + \cos a \sin b</math>と<math>\sin(a-b)= \sin a \cos b - \cos a \sin b</math>より<math>\sin(a+b)-\sin(a-b)=2\cos a\sin b</math>(a=x+h/2,b=h/2)
(\sin x )'
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sin(x+h) - \sin (x) } h
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {2\cos (x+h/2) \sin (h/2) } h
=\lim_{h\rightarrow 0} \cos(x+h/2) \frac {\sin (h/2)} {(h/2)}
</math>
(
<math>
\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sin (h/2)} {(h/2)} = 1
</math>
に注意すると、
 
)
{|
<math>
|-
= \cos x
|<math>(\sin x )'</math>
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sin(x+h) - \sin (x) } h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {2\cos (x+h/2) \sin (h/2) } h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \cos(x+h/2) \frac {\sin (h/2)} {(h/2)}</math>
|-
|
|<math> = \cos x</math>
|}
となり、結果が得られた。
 
{|
<math>
|-
(\cos x )'
|<math>(\cos x )'</math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\cos(x+h) - \cos (x) } h
|<math>= \lim_{h \rightarrowsin(x 0}+ \frac {-2\sin (x+h/pi}{2}) \sin (h}'</2) } hmath>
|-
=\lim_{h\rightarrow 0} -\sin (x+h/2) \frac{\sin (h/2) } {(h/2)}
|
= - \sin x
|<math>= \cos(x + \frac{\pi}{2})*(x + \frac{\pi}{2})'</math>
</math>
|-
|
|<math>= \cos(x + \frac{\pi}{2})</math>
|-
|
|<math>= - \sin x</math>
|}
 
<math> \tan x</math>については、
 
<math>
{|
(\tan x )'
|-
= \left(\frac {\sin x}{\cos x} \right)'
|<math>(\tan x )'</math>
= \frac {\cos x \cos x - \sin x ( - \sin x ) }{\cos ^2 x}
|<math>= \left(\frac {\sin x}{\cos x} \right)'</math>
</math>
|-
(
|
<math>
|<math>= \frac {\cos x \cos x - \sin ^2x ( - \sin x +) }{\cos ^2 x = 1}</math>
|-
</math>
|
に注意。
|<math>= \frac {\sin ^2 x + \cos ^2 x }{\cos ^2 x}</math>
)
|-
<math>
|
= \frac 1 {\cos ^2 x}
|<math>= \frac {1}{\cos ^2 x} </math>
</math>
|}
 
====対数関数の導関数====
 
{|
<math>
|-
(\log _a x)'
|<math>(\log _a x)'</math>
|<math>= \lim_{h \to 0} \frac{\log _a (x+h) - \log _a x}{h}</math>
<math>
|-
= \lim_{h \to 0} \frac{\log _a (x+h) - \log _a x}{h}
|
</math>
|<math>= \lim_{h \to 0} \frac{\log _a \frac{x+h}{x} }{h}</math>
<math>
|-
= \lim_{h \to 0} \frac{\log _a \frac{x+h}{x} }{h}
|
</math>
|<math>= \lim_{h \to 0} \frac{\log _a \left( 1+ \frac{h}{x} \right)}{h}</math>
<math>
|}
= \lim_{h \to 0} \frac{\log _a \left( 1+ \frac{h}{x} \right)}{h}
</math>
 
ここで<math>k = \frac{h}{x}</math>と置くと、
 
{|
<math>
|-
\lim_{h \to 0} \frac{\log _a \left(1+ \frac{h}{x} \right)}{h}
|<math>\lim_{h \to 0} \frac{\log _a \left(1+ \frac{h}{x} \right)}{h}</math>
</math>
|<math>=\lim_{k \to 0} \frac{\log _a (1+k)}{xk}</math>
<math>
|-
=\lim_{k \to 0} \frac{\log _a (1+k)}{xk}
|
</math>
|<math>=\lim_{k \to 0} \frac{1}{xk} \log _a (1+k)</math>
<math>
|-
=\lim_{k \to 0} \frac{1}{xk} \log _a (1+k)
|
</math>
|<math>=\lim_{k \to 0} \frac{1}{x} \log _a (1+k)^{\frac{1}{k} }</math>
<math>
|}
=\lim_{k \to 0} \frac{1}{x} \log _a (1+k)^{\frac{1}{k} }
</math>
 
<math>(1+k)^{\frac 1 k}</math>を0に近づけていくと、
326 ⟶ 327行目:
この一定の値、すなわち
 
<math>\lim_{k \to 0} (1+k)^{\frac{1}{k} } = 2.718281828... = e</math>
 
を'''e'''で表す。
 
そこで元の式にeを代入すると、
 
{|
<math>
|-
(\log _a x)'
|<math>(\log _a x)'</math>
|<math>=\lim_{k \to 0} \log _a (1+k)^{\frac{1}{k} }</math>
<math>
|-
=\lim_{k \to 0} \log _a (1+k)^{\frac{1}{k} }
|
</math>
|<math>=\lim_{k \to 0} \frac{1}{x} \log _a e</math>
<math>
|-
=\lim_{k \to 0} \frac{1}{x} \log _a e
|
</math>
|<math>=\frac{1}{x} \log _a e</math>
<math>
|-
=\frac{1}{x} \log _a e
|
</math>
|<math>=\frac{1}{x \log _e a}</math>
<math>
|}
=\frac{1}{x \log _e a}
</math>
 
特に<math>a=e</math>のとき、
355 行
数学では、<math>\log _e x</math>のeを省略してlog xと書く。<br>
数学以外の分野では、常用対数と区別するために、ln xが用いられることもある。
 
また、<math>\log |x| </math>の微分は、
 
x＞0のとき
 
{|
|-
|<math>(\log |x|)'</math>
|<math>=(\log x)'</math>
|-
|
|<math>=\frac{1}{x}</math>
|}
 
x＜0のとき
 
{|
|-
|<math>(\log |x|)'</math>
|<math>=\{ \log (-x) \} '</math>
|-
|
|<math>=\frac{1}{-x} * (-1)</math>
|-
|
|<math>=\frac{1}{x}</math>
|}
 
====指数関数の導関数====
375 ⟶ 402行目:
 
<math>(e^x)' = e^x</math>
 
====実数乗の導関数====
aは実数とする。<math>y=x^a</math>
 
両辺の絶対値の自然対数をとって
 
<math>\log |y| = a \log |x|</math>
 
両辺をxで微分して、
 
<math>\frac{y'}{y}=a* \frac{1}{x}</math>
 
よって
 
{|
|-
|<math>y'</math>
|<math>=a* \frac{1}{x} *y</math>
|-
|
|<math>=a* \frac{1}{x} * x^a</math>
|-
|
|<math>=ax^{a-1}</math>
|}
 
===高次導関数===
導関数f'(x)をf(x)の'''第1次導関数'''という。
 
導関数の導関数を'''第2次導関数'''という。
 
導関数の導関数の導関数を'''第3次導関数'''という。
 
一般に、関数f(x)をn回微分して得られる関数を'''第n次導関数'''といい、
 
<math>y^{(n)},f^{(n)},\frac{d^n y}{d x^n},\frac{d^n}{d x^n} f(x)</math>
 
のいずれかで表す。
また、nが1,2,3の時はそれぞれ<math>y',y'',y'''</math>や<math>f'(x),f''(x),f'''(x)</math>と表す。
 
2次以上の導関数を'''高次導関数'''という。
 
 
(例)<math>f(x)=x^5</math>の第3次導関数
 
<math>f'(x)=5x^4</math>
 
<math>f''(x)=20x^3</math>
 
<math>f'''(x)=60x^2</math>
 
==導関数の応用==
"https://ja.wikibooks.org/wiki/高等学校数学III/微分法" より作成