「旧課程(-2012年度)高等学校数学B/数値計算とコンピューター」の版間の差分
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数値計算のプログラム例 |
計算手法の解説を追加。 |
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==数値計算とコンピューター==
<!-- 実際にはどの言語が用いられるのだろうか? -->
<!-- やはりVisual Basic? -->
<!-- (先生の立場も考えると) -->
初等的な算法を扱い、計算機を用いて
それを計算する方法を学ぶ。
プログラム例としては、pythonという言語を扱うが
言語の詳細に立ち入らず、考え方を学ぶことが重要となる。
===整数の算法===
====ユークリッド互除法====
ユークリッドの互除法は2つの整数の間の最大公約数を求める
算法である。
ある整数m,n(m<math>></math>n<math>></math>0)をとる。
このときユークリッドの互除法は
*1 mをnで割った余りを計算し、それをrとおく。このときr=0なら3に進み、
r<math> \ne </math> 0なら、2に進む。
*2 mを以前のnの値で置き換え、nをrの値で置き換え、1に戻る。
*3 nの値が最大公約数となっている。
で与えられる。
(導出)
m,nが互いに素であるときを考える。
mをnで割った商をa、余りをrとするとき、
<math>
m=na+r
</math>
(r<math><</math>n<math><</math>m)
が成り立つ。
ここで、仮にn、rが共通因数を持つならその因数は
mの因数でもあるがこれはm、nが互いに素であることに矛盾する。
よって、n、rは互いに素である。
ここから上の1、2を行なうと互いに素でありより小さい2つの整数n,rが得られる。
これを繰りかえすと小さい側の整数は1となる。
実際 余りが2以上になるときは2数が互いに素であることから
次の計算で更に小さい数が得られ、
余りが0になることは小さい方の数が1である場合を除いて、
2数が互いに素であることに反する。
<!-- また、余りは負になることは出来ない。(?) -->
よって、確かに小さい側の整数は1となる。
よって、m,nが互いに素であるときユークリッドの互除法は確かめられた。
次にm,nが最大公約数Mを持つときを考える。
このときもmをnで割った商をa、余りをrとするとき、
<math>
m=na+r
</math>
(r<math><</math>n<math><</math>m)
が成り立つが、
<math>
r = m - na
</math>
を考えると、rもm、nと同じ最大公約数Mを持つ。
r,m,nをMで割ったものをそれぞれr',m',n'とおくと、
これらは互いに素であるが(最大公約数の定義)、このとき上の
2数が互いに素であるときのユークリッド互除法の導出から小さい方の整数は
1が得られる。よって元の整数に戻るためにMをかけることで、この方法が2数の
最大公約数Mを与えることが分かる。
よって、m、nが共通因数を持つ場合にもユークリッド互除法は示された。
実際の計算には 計算機を用いると
(特に2数が大きいときには)便利である。
<!-- よく見ると上の導出の方針と違っている...。 -->
def euclid():
39 ⟶ 97行目:
#(left ,right)= (45 ,30)
#(45 ,28),(30 ,28)
===実数の算法===
==== 2分法====
ある関数f(x)とx軸との接点を求める方法の1つに、2分法がある。
特にf(x)が求める点で正の傾きを持っているものとして考える。
この方法は、
*1 範囲[a,b]内にx軸と求める関数f(x)の接点が含まれるように、2数a,bを定める。
*2 mid_point = (a+b)/2 を計算する。もしf(mid_point)が十分に
0に近ければ4に進む。
*3 もしf(mid_point)<math>></math>0なら、
mid_pointの値をbの値に代入し、2に戻る。もし、f(mid_point)<math><</math>0なら、
mid_pointの値をaの値に代入し、2に戻る。
*4 mid_pointの値が求める接点のx座標である。
この方法は元々の範囲[a,b]の中点を取り、解が中点から見てどちらにあるかを
判断し、範囲を狭めていく方法である。
プログラム例
def bisection():
#Could be a too simple function. But seems ok,
66 ⟶ 142行目:
print bisection()
#ok that work well if I put
71 ⟶ 148行目:
# x-1 or x**2 - 1
#The result of both calculation was 1.0.
このコードはf(x)=x-1、または、f(x)=<math>x^2-1</math>のときに
試された。結果はどちらもx=1.0となり、正しい値を
返している。
==== 台形公式====
台形公式は、あるグラフf(x)とx軸とx=a,x=bに囲まれた面積を
近似的に求める公式である。
この公式では、[a,b]の範囲をN個の小さい範囲に分け、
i個目の範囲を、<math>[x _i,x _{i+1}]</math>と書く。
このときその範囲においては求める面積を
台形で近似しても面積のずれは小さい。
:正確な面積と台形の面積のずれの絵
ここで、台形の面積<math>s _i</math>は
<math>
s _i = \frac12 \{ f(x _i)+f(x _{i+1}) \} \cdot (x _{i+1}-x _i )
</math>
で書かれることを考慮すると、
求める面積Sは、
<math>
S=\sum _{i=0} ^N s _i
</math>
で近似できることが分かる。
プログラム例では、半径1の円の面積を近似的に求め、
それによって<math>\pi</math>の値を計算する。
from math import sqrt,pi
97 ⟶ 202行目:
#the result reads
#0.782116219939 for trapezoid_formula()
#0.785398163397 for pi/4
実際の<math>\pi</math>の値と近い値が得られていることが分かる。
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