特殊相対論 4元運動量

4元運動量

解析力学を考えると、空間の等方性から運動量保存が示されるのと同様に、時間に対する一様性からエネルギーの保存則が導き出される。そのため、 $x^{\mu }={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}$ のように組み合わせて4元ベクトルを作ったことに対応して、 $p^{\mu }={\begin{pmatrix}\epsilon /c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}$ によって、4元ベクトルを作ることが出来る。ここで、 $\epsilon$ はエネルギーである。この4元ベクトルを4元運動量と呼ぶ。ある静止した物体については ${\vec {p}}=0$ が成り立つので、 $p^{\mu }={\begin{pmatrix}\epsilon /c\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$ となる。このときの $\epsilon$ の値を、ある質量mをもつ物体に対して、 mc と置く。 $\epsilon /c=mc$ つまり, $\epsilon =mc^{2}$ に注意。 (エネルギーの定数値はどのようにでも取れるが、特にこのように選ぶのは実験的に質量とエネルギーの同値性が知られていることによっているものと思われる。) このとき、 $\epsilon$ と $|{\vec {p}}|$ の関係は、4元運動量の2乗がローレンツスカラーであることから $p^{\mu }p_{\mu }=\epsilon ^{2}/c^{2}-{\vec {p}}^{2}=m^{2}c^{2}$ となる。よって、 $\epsilon =c{\sqrt {|{\vec {p}}|^{2}+m^{2}c^{2}}}$ が得られる。 ${\vec {p}}^{2}$ が小さいとしてテイラー展開を行なうと、 $\epsilon =mc^{2}+{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+O({\vec {p}}^{4})$ が得られ、通常のエネルギーと運動量の関係式 $\epsilon ={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}$ と、定数 $mc^{2}$ を除いて一致する。定数 $mc^{2}$ を静止エネルギーと呼ぶことがある。