線形代数学/逆行列の一般型

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逆行列の一般型

逆行列は、

$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}C$ で書かれる。 ここでCは、Aの余因子行列である。

導出

第l行について考える。(l = 1 , ... , n) このとき、l行l列について ACを考えると、 $\sum _{m=1}^{n}a_{lm}c_{ml}$ $=\sum _{m=1}^{n}a_{lm}(-1)^{m+l}b_{lm}$, ($b_{lm}$は、行列Aの行l、列mに関する小行列式。) $=\det A$ (式の展開の逆) また、l行で、i列(i = 1, ... , n : l 以外) について ACを考えると、 $\sum _{m=1}^{n}a_{lm}c_{mi}$ $\sum _{m=1}^{n}a_{lm}(-1)^{m+i}b_{im}$ これは、行列Aで、i行目をl行目で置き換えた行列の行列式に等しい。 行列式で行列のうちのある行か、ある列が他の行か他の列と一致する場合、 その2つの行または列からの寄与は必ず打ち消しあう。 (導出?) よってi列からの寄与は0に等しい。 よって求める行列 ACは、 $\det(A)E$ となり、 ${\frac {1}{\det A}}C$ は、(CはAの余因子行列) Aの逆行列に等しいことが分る。

実際にはこの計算は多くの計算量を必要とするので 実用的な計算には用いられない。 実用的な計算にはガウスの消去法が 用いられることが多い。