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ここで は摂動を受ける(少しだけズラされる)前のハミルトニアンで、
対応する波動方程式が正確に解ける物です。
一方 は受けた摂動(ズレ)を表す項です。
そしてこの摂動を受けたハミルトニアン による波動方程式
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は正確には解けないはずです。
先の はそれぞれ
スカラー・ベクトル・行列で表せるので、
まずこれらを簡単なベクトルと行列に置き換えて議論します。
次のシュレディンガーの方程式とその要素に対応した物を考えます。
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この場合 をそのまま解くと、 で、固有値がそれぞれ
となり正確に解が求まります。
とにかく摂動を受けたハミルトニアンの場合で固有値を求めることにします。
まず固有値方程式を計算すると、
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ここで固有値が元の から だけずれるとすると、
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であり、 の一次のオーダーで固有値方程式を解くと、
(縮退が無い場合は なので)
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となります。
同様に からのずれは となります。
さらに、 に対応する固有ベクトルを
仮に と置いて
シュレディンガー方程式を解くと、
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となり求める事ができます
( の二乗以上の項は無視しているのに注意)。
この結果は量子力学の結果と一致します。
先の線形代数における場合を、ブラケットと演算子を用いて計算します。
摂動を受けていないハミルトニアン に関する
シュレディンガー方程式はブラケットと演算子を用いて
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と表せます。
まず準備としてすべての微小量に係数λをかける事とします。
これにより最終的にλのベキで展開する事が可能になります。
つまりハミルトニアンの摂動による効果を表す は微小量なので、
λをつけて表され、摂動を受けるハミルトニアンは、
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と表されます。
そして解くべきシュレディンガーの方程式は
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となります。(W: エネルギー固有値)。
ここで固有状態の と、
固有値Wは、摂動を受けていない場合から少しずれるはずなので、
それぞれ以下のように表せます。
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ここで微小量は摂動の無い場合からのズレを表すので、微小でない項はそれぞれ
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と、摂動の無い場合の固有値と固有状態になる事に注意。
そしてこれらの固有値と固有状態を解くべき方程式に代入すると以下のようになります。
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これをλのベキについて展開すると以下の各方程式が得られます。
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そしてこれらを求めたい微小量のオーダーの方程式まで解くことで
近似解を得ます。
0次の方程式を解きます。
先ず0次の方程式を展開すると、
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となり、これは摂動の無い場合と同じなので固有値と固有状態はそれぞれ
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と表せます。
1次の方程式を解きます。
先ず0次の方程式から
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というのが判りますので、これを利用するために、
1次の方程式に左から をかけて
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と微小量の1次までの固有値が求まります。
次に固有状態を求めるために
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とベキ級数に置いて解を求めます。
このベキ級数を1次の方程式に代入すると
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となります。
である事に注意。
さらにこれに左から をかけます( )。
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ここでは の場合には
となり項が消えるので、左辺のsumが消えている事に注意。
そして、
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という結果が得られ、線形代数の場合と同じ結果となります。
これを元の式に代入して固有状態を書くと
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となります。
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量子力学/時間に依存しない摂動論」は、
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