2 個のベクトル
と
とのスカラー積 (scalar product)
を,
(A.4)
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =AB\cos(AB)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e8ef0f03319ceec544c70d3f660367a18a63b6)
で定義する.ここで
はベクトル
のあいだの角度である.
(A.4) の定義から,
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd5ba92f92492580882544c12b770327fde64fb)
であることがわかる.さきの単位ベクトル
はその大きさが
で,互いに直交しているから,
(A.5)
![{\displaystyle \mathbf {e_{x}} \cdot \mathbf {e_{y}} =\mathbf {e_{y}} \cdot \mathbf {e_{z}} =\mathbf {e_{z}} \cdot \mathbf {e_{x}} =0,\quad \quad \mathbf {e_{x}} \cdot \mathbf {e_{x}} =\mathbf {e_{y}} \cdot \mathbf {e_{y}} =\mathbf {e_{z}} \cdot \mathbf {e_{z}} =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f7bbc76ed47fe7203923cb5ec83496d4c9ded5)
である.また
(A.6)
![{\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a12fbf1857cb7bdb2cff0bd26c9128b026ad11)
もすぐ証明できる.いまある単位ベクトル
を考えると
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {n} =A\cdot 1\cdot \cos(An)=Acos(An)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f2a159e87c68806d14ba8373c9c5be5c9714f8)
となる.これはベクトル
の
方向の成分の大きさをあらわすから
(A.7)
![{\displaystyle A_{n}\equiv A\cos(An)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af99f2698fea5e5d7f7002cf3460a41610ec189a)
とかける.さて
![{\displaystyle A=A_{x}\mathbf {e_{x}} +A_{y}\mathbf {e_{y}} +A_{z}\mathbf {e_{z}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15a20eeb341e05291af24dad3247c9ee07d8d20)
であるから,
を直角座標系の成分でかくと
![{\displaystyle A_{n}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} =A_{x}(\mathbf {e_{x}} \cdot \mathbf {n} )+A_{y}(\mathbf {e_{y}} \cdot \mathbf {n} )+A_{z}(\mathbf {e_{z}} \cdot \mathbf {n} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fa770a0fd866a777781786a8ef34d0f1cb5dc3)
(A.8)
![{\displaystyle =A_{x}\cos(e_{x}n)+A_{y}\cos(e_{y}n)+A_{z}\cos(e_{z}n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660d19df8f1dea0778add7668adff31880210e24)
となる.また,スカラー積
を直角座標系の成分でかくと,(A.5) の性質から
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(A_{x}\mathbf {e_{x}} +A_{y}\mathbf {e_{y}} +A_{z}\mathbf {ezy} )\cdot (B_{x}\mathbf {e_{x}} +B_{y}\mathbf {e_{y}} +B_{z}\mathbf {ezy} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2519ec1c33de112fb560e78bce266f68f02ff4bc)
(A.9)
![{\displaystyle =A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237dedf3a3f3ecc8363b04715a4d3b6268628b0a)
となる.