電磁気学 > 静磁場


静磁場編集

磁気的な力の導入編集

次に場の量に対する時間変化が無いときの、磁場の様子を見ることにする。

ここでいう磁場というものは先ほどの電場との類似で導入されるものだが、その性質は電場とはある程度異なっている。しかし、どちらも電磁気力の1つの現われで有ることに変わりは無い。

ここでは、電流の回りに磁場の発生する現象であるアンペールの法則から、磁場を導入する。


実験的に、ある電流 が流れている導線と、  が流れている導線を、距離rまで近づけると、その間に 導線の単位長さlに対して、

 

だけの力が働くことが知られている。

ここで、

 

という量が与えられたが、この量は磁気的な力に関連する定数である。 この量の次元と大きさは後に述べる。

これだけでは、この力が上でいう電気力と区別するものなのかどうか わからない。しかし、例えば磁石の発する磁気に対して強く反応する 鉄などの物質をその回りに近づけることで、導線に引きよせられるような 力が働くことから、この力は、電気力ではなく磁気力によるもので あることが示唆される。


磁界編集

上のように電流の回りに生じる磁気の強さは、導線からの距離に のみ依存することが、砂鉄等を用いた実験によって確かめることが できる。

また、磁気の方向は、電流の流れる方向にネジが進むように 回転する方向になっている。このことを右ネジの法則と呼ぶことがある。

これらの量は、電流によって作りだされた磁気力を伝える新たな場であると 考えることが出来る。この量を磁界、または磁場と呼ぶ。

上の結果から、磁場は導線の距離によってその強さが変化し、 その方向は導線の回りを回転するようになっていることが期待される。

これらを考慮して、電流Iの回りに現われる磁界は、

 

与えられる。

ここで、

 

は、真空の透磁率と呼ばれる量で、その量は

 

を満たす。この量は測定されたものというより定義によるものであり、 端数の無い定まった量を持つ。

この量(別の導線との相互作用は、導線の単位長さに対して、

 

で書かれる。 ここで、この式の

 

は、ベクトルの外積を表わす。ベクトルの外積については、 物理数学Iで解説する。

また、この式に、

 

を代入すると、 だけの電流が流れる導線の単位長さあたりに対して、

 

の力が働くが、これは上の表式と一致している。 このため、磁場を使った表式は電流間の相互作用を書き表す方法として 正しい結果を表わしている。

この式は、物理的には電流を磁場に対して垂直な方向に流すと、 電流は力を受けることを示している。この法則は、 初等的には「フレミングの左手の法則」として知られている。なお、大学物理では原則的に「ローレンツ力」の用語は、使わない。

なぜなら、後述する「ローレンツ力」の理論により、「フレミングの法則」をふくむ幾つかの法則がまとめて説明でき、しかも、「ローレンツ力」の理論にもとづいて、力などの計算もできるからである。

いっぽう、「フレミングの法則」の理論は、個々の実験結果の現象論にとどまってしまっており、そのため、大学物理では採用されていない。

さて、実際には、微視的に見ることで、電流は導線中の電荷が動いていることで 引き起こされていると見ることが出来る。そのため、ここで起こっていることは 実際には、磁場の中を電荷を持った粒子が横切ったとき、その粒子には 力が働くことに対応している。

この力は、歴史的な理由により「ローレンツ力」と呼ばれる。 この力は、

 

で書かれる。式中のqは電荷の大きさであり、単位はクーロン(記号: C )である。


ビオ-サバールの法則編集

上では導線の回りに生じる磁界について考えた。 導線の中では、微視的に見ると電荷が定常的に運動しており、そのようなときに 回りに磁場が引き起こされることが予想される。

実際には、導線はもっと複雑な配置にすることも出来る。 例えば、導線を円形に配置したときにも、その回りには磁場が発生することが 知られている。

このような場合の磁界の計算法として

 

が知られている。この式を、提唱した人間にちなんで、 「ビオ-サバールの法則」と呼ぶ。 ここで、積分は導線に沿った線積分(せん せきぶん)であり、

 

は、導線上の点から磁場を計算したい点までのベクトルを表わしている。

例として、無限遠から無限遠まで続く導線からrだけ離れた点での磁場を 計算してみる。 この条件は、上のように長い導線を平行に置いたときの条件と近似的に 一致している。

まず導線はz軸方向に置かれているとする。 さらに磁場の大きさを計算する点の座標を A(r,0,0)とし、計算を進める点の座標をB(0,0,z)とし、 原点をOとおく。

この配置について

 

について、

 
 
 

となる。 更に角OABを とおくと、求める積分は

 
 
 

を得る。(式中のeは単位ベクトル。添え字のyは座標軸yの方向のこと。eといっても、ここでは電子エレクトロンのことではないので、間違えないように。)

さらに積分変数をzから にすれば、

 

から、

 

が成り立つ。

これを代入すると、

 
 
 
 

となる。

元の式に代入すると、

 
 
 

となる。

この表式は、ベクトルの方向まで含めて、以前導線の回りの磁場として 与えた式と一致している。このことから、ビオ-サバールの法則は、 以前与えた表式の拡張となっていることが分かる。

磁性体編集

(未記述)

ベクトルポテンシャル編集

(※ 記述中)

ローレンツ力の式を思い起こそう。

あれは「ローレンツ力」という名のとおり、力についての式である。

ところで、高校の原子物理でならったように、運動量 p によって 物質波 λ の波長が決まる。

さらに、高校物理の力学で習ったように、力と運動量は、関連性が深い。


これらを合わせて考えると、ローレンツ力によって、物質の原子での状態が、なにか記述できるのではないか? という予想が成り立ちそうである。

先に答えを言うと、超電導の磁気浮上のような、超電導のいろいろな性質・公式を、ローレンツ力から派生する理論によって記述できる。

このほか、電磁気学に加えて「量子力学」という学問を活用して、原子の磁性のさまざまな公式を、このローレンツ力から派生する公式で記述できる。

そして、そのような原子物理の方面の公式へ電磁気学を応用するために、われわれはベクトルポテンシャルという理論を導入する必要がある。

磁場をあらわすベクトルをBとしたとき、ベクトルポテンシャルとは、

 

という式中のベクトルAのことがベクトルポテンシャルである。(アンペアの記号とは、まったく違う意味なので、間違えて混同しないように。おそらく単に「磁気の記号Bの前だからA」くらいの軽い気持ちで、むかしの物理学者の誰かが「ベクトルポテンシャルの記号はAと書こう」と決めたんだろう。)

普通は磁気Bの分布が実験的には分かってる場合が多いだろう。なのに、わざわざベクトル解析の回転をもちいてAを定義するのは、一見すると、まわりくどいと感じるかもしれないが、しかしポテンシャルのような概念を経由することで、運動量やエネルギーといった量とローレンツ力を関係づけやすくなり、そして運動量やエネルギーは物質波の理論を仲介して原子の性質を記述できるという学問的事実を仲介して、磁場と原子物理の関係を考察しやすくなる。

(※ ここから先、未記述。読者に、お詳しい人がいれば、加筆をお願いしまうす。)

範囲外: シュテルン=ゲルラッハの実験編集

(※ 大学の教科書では範囲外だが、よくよく考えると、このシュテルン=ゲルラッハ実験は電磁気の話題でもある。)

  • 磁気双極子の受ける力
 
シュテルン=ゲルラッハの実験

4は古典物理的な予想値(じっさいの実験結果ではない)。
じっさいの実験結果は、5のように、原子線は、上下の2つの位置に分かれる。けっして、4のように、そのあいだの中間の位置には、ほぼ原子線は当たらない。
この5のように、原子線は上下2つに分裂する。

通常の棒磁石を、電子に近づけても、電子の磁気モーメントが小さいので、ローレンツ力以外の力は電子はほとんど受けないのだが、磁石が通常でない場合は別である。

図のように、磁石によって、不連続で急峻な磁場が発生するとき、電子の上側と下側とで、磁場の強さが異なる。そのため、電子全体としては、力を受けることになる。(なお、前提として、電子には「スピン」という磁極のような性質がある、という事を前提にしている。)

N極の先端のとがったかたちをした棒磁石と、S極の先端のくぼんだ棒磁石を用意して、とがった、N極と、くぼんだS極の軸を一致させ、この2つの磁極の間隔をせまくした不対磁極をつくる。この不対磁極のすきまに、銀を熱して蒸発させて細孔などから飛び出させた銀の原子線を打ち込むと、図のように、上または下のどちらかの力を受け、上下の2箇所に分裂する。けっして、ななめ方向には移動しない。これは、原子線そのものが磁化をもっていることの実験的証明である。

(銀の原子は中性のハズである。また、仮に電離していて電荷をもっていたとしてローレンツ力を受けたとすると、ローレンツ力の方向は、図中の横向き(つまり紙面の奥方向または手前に向う方向)になるハズであるが、しかし、そのような実験結果は起きていない。よって、銀の原子線は中性である。)

このような実験をシュテルン・ゲルラッハの実験という。銀以外にも、水素の原子線やナトリウム原子線でも同様の実験が行われ、原子線が上方向または下方向のどちらかの力を受けることが確認された。

このように原子線が上下に分裂する理由は、原子線が磁化をもっている事のあらわれであるが、その原子の磁化の由来は、そもそも電子が物性として磁気をもっているからである。そして、電子そのものの磁気のことをスピンという。

原子線の標的になっている場所を見ると(図の「5」の場所)、原子線が上または下の2通りの位置に分裂して当たっていることから、電子の「スピン」も2通りの値であることが予想され、他の物理理論から、電子の「スピン」が実際に2通りである事が分かっている。

量子力学の入門書では、この事から、電子の「スピン」の状態が、外部磁場に対して「上向き」か「下向き」かの2通りしか取りようのない離散的な事が、説明されるのだが、では、なぜ、あの実験事実で、このような離散性が証明されるのかを、下記にきちんと説明しよう。


 
不均一な磁場での電子スピンの受ける磁力 についての模式図。

まず、かりに、磁場に対して、電子の磁石としての角度が図のように角度θをなすとしたら、電子下部に掛かる力は、

 

となる。

なお式中のmは磁極の大きさの値とする。問題の簡単化のため、m>0としよう(m<0な場合は(負の大きさの磁極の場合)、θ=180度として対応することにしよう)。

いっぽう、電子上部に掛かる力は、

 

としよう。

電子の上部と下部とで差し引き、電子には、

 

の力が掛かる。

もし、通常の棒磁石だと、磁場はほぼ均一であるために  となるので、通常の棒磁石では、シュテルンゲルラッハのような実験結果が起きないわけである。

しかし、今回の実験で考えてるのは、図のように急激に磁場の変化する構造の磁石であり、そのため がけっして0ではない。

よって、m か H か θ の変化率をおおきくすれば、電子は磁石によって、おおきな力を受ける。mは電子固有の値なので、変えようがないので、つまり定数だと思う。

とすると、残りの、変えうるパラメーターは、 H か θ のどちらかになる。


そして、θが離散化により2通りの状態を取ると考えるべきだろう。Hは外部磁場の大きさであり、2通りには、なりようにない。

mは、われわれの考察では m>0 と仮定してしまったので(m<0の場合はθ=180度として解釈するという仮定であった)、なので、θ=0または θ=π を取ると考えるのが、妥当である。


このようにして、電気磁気学の公式と、シュテルン=ゲルラッハの実験結果にもとづき、スピンが2通りの離散化によって原子線が上下2方向に分裂することを解析的に説明できる。

(※ なお、この導出方法は、たしか裳華房の物理学叢書の電磁気学や、『初等量子力学』などに書いてある。べつにwikibooksオリジナルの解法ではない。)

(※ ただし、これらの書籍の解法では、解法の順序が先に不均一磁場中の磁気モーメントに働く力を求めていたりして、あとからスピンを導入しており、そのため、スピンが不均一磁場でどういう力を受ける解析結果になるかの説明が省略されており、あまり細かく書かれていない。)


※ 図では説明の都合上、分子の軌道はあたかも明確に上下90度の2点にだけ集中的に集まるように描かれているが、しかし実は実際の実験を何度も繰り返した結果では、ある程度の角度のばらつきがあり、たとえば±50度~140度のように90度を中止とするもののバラツキがある統計となる事が割と量子論の初期の時代から論文などで知られている(そういう実験結果の論文が昔から幾つかある)。つまり、現実の実験結果は、1点集中(厳密には「2点集中」?)ではない。
市販の、量子力学についての知ったかぶりの入門書では、シュテルン=ゲルラッハの実験を電子スピンの根拠とする言説が多いが、しかし、
・ そもそも電子線の実験ではなく原子線の実験である。シュテルン=ゲルラッハ実験では電子線は全く測定しない。
・ 実際の実験結果の統計では、角度位置のバラツキとして、無視でない大きさの角度のバラツキがある。

こういった実験的な事実から、シュテルン=ゲルラッハ実験を電子スピンの実験的根拠とするのは、あまり科学的には論理的はない。


範囲外: 不均一磁場でのローレンツ力編集

範囲外: 不均一磁場でのローレンツ力編集

 
直線電流のまわりの磁場での荷電粒子のローレンツ運動の概略図

高校で習った磁場中の荷電粒子に働くローレンツ力の計算式は、磁場が均一の場合であった。磁場が不均一でもローレンツ力は定義できる。たとえば、数学者ポアンカレが、北極ちかくの磁場のシミュレーションとして、磁石の磁極mの作る磁場のような一点から発散する磁場でのローレンツ力を計算しており(ただし、厳密には電磁放射が起きるが、放射を無視して記述する。)、極近くで荷電粒子が円錐状に運動する現象を計算式によって導いている。(ポアンカレ円錐)[1]

不均一磁場のローレンツ力の簡単な計算例として、直線電流の作る磁場での、ローレン力による運動を、解析してみよう。

荷電粒子の運動方程式は、

 

この微分方程式を解けばよい。

 
 

である。 ただし、i、j、kは右手系の座標系の単位直交ベクトルとした。

図のように、電流をz軸の向きにとると、磁場のベクトルBは、磁場方向の単位ベクトルをhとすると、

まず、

 
 
 

であり、代入して x、y、z および i、j、k で表すと、

 
 

となる。これを、もとのローレンツ力の式に入れればよく、ローレンツ力Fは、

 

これは、次の3つの連立微分方程式に等しい。

 
 
 

この運動方程式のz方向成分をよく見ると、対数微分で解ける。計算すると、

 
 

つまり結果をまとめれば、

 

これを両辺、積分して、

 

となり、z方向の運動量   が求まる。ただし、C_1は積分定数とした。

初期位置 x_0、y_0、z_0 および 初速度 v_{x0}、v_{y0}、v_{z0}を用意して、積分定数C1を消すと、 結局、

 

になる。

ところで、この直線電流のつくる磁場のベクトルポテンシャル A は、定義にもとづき忠実に計算して求めれば、

 

である。

 
 
 

ベクトルポテンシャルで、置き換えれば、

 

となり、 が保存量になっている。単位は運動量だから、つまり、不均一磁場でローレンツ力を受けて運動する場合の荷電粒子の運動量を求めたことになる。

つまり、荷電粒子のz軸方向の運動量 p_z は、以下の式で定義される。

 


(※ 本問題では、まだx軸方向およびy軸方向の運動量の保存は証明していない。証明の検討を省略する。)


結局、不均一磁場の場合も考えると、ローレンツ力の式は、磁場のベクトルポテンシャルAを用いて記述すると都合が良く、qAがローレンツ力による運動量に相当する。

結局、通常の質点の運動量mvとあわせて、合計 p=mv+qA が、荷電粒子の運動量である。

このように、ベクトルポテンシャルは運動量と関連づけられる。古典電磁気学においては、この知見(ベクトルポテンシャルは運動量と関連づけられる)は重要性は少ないが、しかし量子力学や超電導物理などにおいて、この知見は重要な意味を持つ。超電導の物体内部では、一様な磁場は存在していない、と考えられている。


また、ベクトルポテンシャルと運動量の関係の証明は、このように、古典物理の範囲内で可能である。解析力学や量子力学などの知識は、不要である。(もちろん、解析力学を知っていたほうが見通しがよいが。)


軸対象な磁場での、荷電粒子運動量についての、ブッシュの定理などが知られているが、入門の範囲を超えるので省略する。

なお、直線電流に限らない場合の、一般の場合の荷電粒子の運動量の方程式および、軸対称の場合のブッシュの定理の証明について知りたければ、脚注に上げた、参考文献(太田浩一『電磁気学〈1〉 (丸善物理学基礎コース) 』丸善書店、)に、解析力学などを前提知識として書かれている。

範囲外: 超電導や解析力学などとの関係編集

なお、電磁気学の範囲外の話題だが、超電導の専門書を読めば、 磁場の影響によって物質波の波長がどのようになるかの解析計算において、

p=qA

の式が使われる事もある。

高校物理で習うように、物質波の波長 λ は運動量pによって影響を受ける。

そして、読者はこの単元で運動量pと磁場Bは、ベクトルポテンシャルAを介して式 p= qA によって表現できることを知った。

結局、読者は、ベクトルポテンシャル A と物質波の波長 λ の関係を知ったことになる。(単に連立方程式を立てればいい。高校で習うような原子物理でのλの公式にある運動量pに、単に p= qA または類似する変数を代入すれば済むだけである。詳しい計算については、それぞれの専門分野ごとに細かな公式が異なるだろうから、説明を省略する。)

なお、古典電磁気学では、加速度運動する電磁粒子についての電磁放射などの現象もあるので、はたして不均一磁場にもとづいて計算した p=qA の式が本当に正しいかどうか、疑問も残る。

しかし、原子・分子のサイズでは、高校物理でも習うように、古典電磁気学的な電磁放射も無視できる。 また、そもそも、通常の原子物理や物性物理の計算では、不均一磁場を仮定する必要もないのが一般的であろう。

そのため、原子物理において p=qA を使用するさいに、いちいち電磁放射や不均一磁場の問題で悩まなくて済む。

また、解析力学のラグランジュアンの手法によって運動量 p=mv+qA 導入した場合、そもそも不均一磁場を仮定する必要もない。(均一磁場でも構わない。) なお、解析力学によって導入した場合の p=mv+qA の式および関連する諸公式は、物理学者のシュワルツシルトが発見したため、p=mvqAを導出するための元々のラグランジアンを「シュワルツシルトのラグランジアン」という場合もある。

なお、ラグランジアンから導出される運動量のことを正準運動量(せいじゅん うんどうりょう)という。式 p=mv+qA 自体は、ラグランジアンの式ではなく、正準運動量の式である。

つまり、このページの「直線電流の作る磁場での、ローレン力による運動」の先ほどの節での解析では、「運動する荷電粒子のラグランジアンの正準運動量」を、ラグアンジアンや解析力学の理論を経由せずに、高校物理的に導出してみたことになる。

なので、式 p=mv+qA は、運動する荷電粒子の正準運動量でもある。

なお、世間の多くの物理学者は、式 p=mv+qA を、ラグアンジアンや解析力学の理論を経由しないでも、高校物理的に導出できることを知らない。(少なくとも2017年の時点では。)

さて、シュワルツシルトの解析力学や理論物理における業績は他にも多くあるので、他の公式と区別するために、式 p=mv+qA については、とりあえず「シュワルツシルトの荷電粒子ラグランジアンの正準運動量」とでも呼んでおくのが良いだろう。

動磁場編集

電磁波編集

範囲外: 相対論の一次近似編集

(未記述)

ポインティングベクトル編集

(未記述)

脚注編集

  1. ^ たとえば参考文献:太田浩一『電磁気学〈1〉 (丸善物理学基礎コース) 』『電磁気学〈2〉 (丸善物理学基礎コース) 』丸善書店、などで説明されている。